Selamat datang di bagian pertama dari seri 60 soal dan pembahasan mengenai persamaan lingkaran. Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri dasar yang memiliki banyak aplikasi dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Memahami konsep persamaan lingkaran sangat penting, terutama bagi siswa SMA/MA.
Dasar-dasar Persamaan Lingkaran
Sebelum kita mulai dengan soal-soal, mari kita ingat kembali beberapa rumus dasar persamaan lingkaran:
- Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r:</strong >
$$x^2 + y^2 = r^2$$ - Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b) dan Jari-jari r:</strong >
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ - Bentuk Umum Persamaan Lingkaran:
$$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$$ Dimana pusatnya adalah $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{(\frac{A}{2})^2 + (\frac{B}{2})^2 – C}$.
Mari kita mulai dengan soal-soal latihan berikut untuk memperdalam pemahaman Anda.
Soal 1-5: Menentukan Persamaan Lingkaran dari Pusat dan Jari-jari
Soal 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari 5.
Pembahasan:
Diketahui pusat lingkaran adalah $O(0,0)$ dan jari-jari $r=5$.
Menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$: $x^2 + y^2 = r^2$.
Substitusikan nilai $r=5$ ke dalam persamaan:
$x^2 + y^2 = 5^2$
$x^2 + y^2 = 25$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 = 25$.
Soal 2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2, -3)$ dan berjari-jari 4.
Pembahasan:
Diketahui pusat lingkaran adalah $P(2, -3)$ dan jari-jari $r=4$. Ini berarti $a=2$ dan $b=-3$.
Menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat $P(a,b)$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
Substitusikan nilai $a=2$, $b=-3$, dan $r=4$ ke dalam persamaan:
$(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$.
Soal 3
Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik $(-1, 0)$ dan jari-jari $\sqrt{7}$. Tentukan persamaannya.
Pembahasan:
Diketahui pusat lingkaran adalah $P(-1, 0)$ dan jari-jari $r=\sqrt{7}$. Ini berarti $a=-1$ dan $b=0$.
Menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat $P(a,b)$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
Substitusikan nilai $a=-1$, $b=0$, dan $r=\sqrt{7}$ ke dalam persamaan:
$(x-(-1))^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{7})^2$
$(x+1)^2 + y^2 = 7$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x+1)^2 + y^2 = 7$.
Soal 4
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan melalui titik $(3, 4)$.
Pembahasan:
Diketahui pusat lingkaran adalah $O(0,0)$. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat ke titik yang dilaluinya, yaitu $(3,4)$.
Maka, $r = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$: $x^2 + y^2 = r^2$.
Substitusikan nilai $r=5$:
$x^2 + y^2 = 5^2$
$x^2 + y^2 = 25$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 = 25$.
Soal 5
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $P(1, -2)$ dan melalui titik $(4, 2)$.
Pembahasan:
Diketahui pusat lingkaran adalah $P(1, -2)$. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat $P(1,-2)$ ke titik yang dilaluinya, yaitu $(4,2)$.
Maka, $r = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{3^2 + (2+2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Menggunakan rumus persamaan lingkaran dengan pusat $P(a,b)$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
Substitusikan nilai $a=1$, $b=-2$, dan $r=5$:
$(x-1)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2$
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$.
Soal 6-10: Menentukan Pusat dan Jari-jari dari Persamaan Lingkaran
Soal 6
Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 = 36$.
Pembahasan:
Persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 = 36$.
Bandingkan dengan bentuk standar $x^2 + y^2 = r^2$.
Maka, $r^2 = 36$, sehingga $r = \sqrt{36} = 6$.
Pusat lingkaran ini adalah $O(0,0)$.
Jadi, pusat lingkaran adalah $(0,0)$ dan jari-jarinya adalah 6.
Soal 7
Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 49$.
Pembahasan:
Persamaan lingkaran adalah $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 49$.
Bandingkan dengan bentuk standar $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
Maka, $a=3$, $b=-4$, dan $r^2 = 49$.
Sehingga, $r = \sqrt{49} = 7$.
Pusat lingkaran ini adalah $(a,b) = (3, -4)$.
Jadi, pusat lingkaran adalah $(3,-4)$ dan jari-jarinya adalah 7.
Soal 8
Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan $x^2 + (y-5)^2 = 12$.
Pembahasan:
Persamaan lingkaran adalah $x^2 + (y-5)^2 = 12$. Ini bisa ditulis sebagai $(x-0)^2 + (y-5)^2 = 12$.
Bandingkan dengan bentuk standar $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
Maka, $a=0$, $b=5$, dan $r^2 = 12$.
Sehingga, $r = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
Pusat lingkaran ini adalah $(a,b) = (0, 5)$.
Jadi, pusat lingkaran adalah $(0,5)$ dan jari-jarinya adalah $2\sqrt{3}$.
Soal 9
Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 – 6x + 8y – 24 = 0$.
Pembahasan:
Persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 – 6x + 8y – 24 = 0$.
Bandingkan dengan bentuk umum $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
Maka, $A=-6$, $B=8$, dan $C=-24$.
Pusat lingkaran $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) = (-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}) = (3, -4)$.
Jari-jari $r = \sqrt{(\frac{A}{2})^2 + (\frac{B}{2})^2 – C} = \sqrt{(\frac{-6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2 – (-24)} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 24} = \sqrt{9 + 16 + 24} = \sqrt{49} = 7$.
Jadi, pusat lingkaran adalah $(3,-4)$ dan jari-jarinya adalah 7.
Soal 10
Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan $2x^2 + 2y^2 + 8x – 12y + 8 = 0$.
Pembahasan:
Persamaan lingkaran adalah $2x^2 + 2y^2 + 8x – 12y + 8 = 0$.
Untuk mengubah ke bentuk umum $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, bagi seluruh persamaan dengan 2:
$x^2 + y^2 + 4x – 6y + 4 = 0$.
Maka, $A=4$, $B=-6$, dan $C=4$.
Pusat lingkaran $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) = (-\frac{4}{2}, -\frac{-6}{2}) = (-2, 3)$.
Jari-jari $r = \sqrt{(\frac{A}{2})^2 + (\frac{B}{2})^2 – C} = \sqrt{(\frac{4}{2})^2 + (\frac{-6}{2})^2 – 4} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 – 4} = \sqrt{4 + 9 – 4} = \sqrt{9} = 3$.
Jadi, pusat lingkaran adalah $(-2,3)$ dan jari-jarinya adalah 3.
Soal 11-15: Persamaan Lingkaran dengan Kondisi Tertentu
Soal 11
Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya adalah ruas garis yang menghubungkan titik $A(2,3)$ dan $B(-2,-1)$.
Pembahasan:
Pusat lingkaran adalah titik tengah dari diameter AB.
Pusat $P = (\frac{2+(-2)}{2}, \frac{3+(-1)}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{2}{2}) = (0, 1)$. Jadi $a=0, b=1$.
Panjang diameter adalah jarak antara A dan B: $d = \sqrt{(-2-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
Jari-jari $r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Persamaan lingkaran dengan pusat $P(0,1)$ dan $r=2\sqrt{2}$ adalah:
$(x-0)^2 + (y-1)^2 = (2\sqrt{2})^2$
$x^2 + (y-1)^2 = 4 \times 2$
$x^2 + (y-1)^2 = 8$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + (y-1)^2 = 8$.
Soal 12
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(3,4)$ dan menyinggung sumbu X.
Pembahasan:
Pusat lingkaran adalah $(3,4)$.
Jika lingkaran menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya sama dengan nilai absolut dari koordinat y pusatnya. Jadi, $r = |4| = 4$.
Persamaan lingkaran dengan pusat $(3,4)$ dan $r=4$ adalah:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4^2$
$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16$.
Soal 13
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(-2,5)$ dan menyinggung sumbu Y.
Pembahasan:
Pusat lingkaran adalah $(-2,5)$.
Jika lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya sama dengan nilai absolut dari koordinat x pusatnya. Jadi, $r = |-2| = 2$.
Persamaan lingkaran dengan pusat $(-2,5)$ dan $r=2$ adalah:
$(x-(-2))^2 + (y-5)^2 = 2^2$
$(x+2)^2 + (y-5)^2 = 4$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 4$.
Soal 14
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,2)$ dan menyinggung garis $3x + 4y – 10 = 0$.
Pembahasan:
Pusat lingkaran adalah $(1,2)$. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat ke garis singgung $3x + 4y – 10 = 0$.
Rumus jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
Maka, $r = \frac{|3(1) + 4(2) – 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 – 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|1|}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,2)$ dan $r=\frac{1}{5}$ adalah:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\frac{1}{5})^2$
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = \frac{1}{25}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-1)^2 + (y-2)^2 = \frac{1}{25}$.
Soal 15
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $A(0,0)$, $B(0,2)$, dan $C(4,0)$.
Pembahasan:
Misalkan persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
Karena melalui $A(0,0)$: $0^2 + 0^2 + A(0) + B(0) + C = 0 \Rightarrow C = 0$.
Persamaan menjadi $x^2 + y^2 + Ax + By = 0$.
Karena melalui $B(0,2)$: $0^2 + 2^2 + A(0) + B(2) = 0 \Rightarrow 4 + 2B = 0 \Rightarrow 2B = -4 \Rightarrow B = -2$.
Karena melalui $C(4,0)$: $4^2 + 0^2 + A(4) + B(0) = 0 \Rightarrow 16 + 4A = 0 \Rightarrow 4A = -16 \Rightarrow A = -4$.
Maka, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 – 4x – 2y = 0$.
Pusat: $(-\frac{-4}{2}, -\frac{-2}{2}) = (2,1)$.
Jari-jari: $r = \sqrt{2^2 + 1^2 – 0} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 – 4x – 2y = 0$.
Soal 16-20: Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Soal 16
Tentukan kedudukan titik $P(2,3)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$.
Pembahasan:
Substitusikan koordinat titik $P(2,3)$ ke dalam persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$.
$K = x^2 + y^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
Bandingkan nilai $K$ dengan $r^2 = 25$.
Karena $K = 13 < 25$ ($K < r^2$), maka titik $P(2,3)$ terletak di dalam lingkaran.
Soal 17
Tentukan kedudukan titik $Q(-4,5)$ terhadap lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16$.
Pembahasan:
Substitusikan koordinat titik $Q(-4,5)$ ke dalam bagian kiri persamaan lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16$.
$K = (x-1)^2 + (y+2)^2 = (-4-1)^2 + (5+2)^2 = (-5)^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
Bandingkan nilai $K$ dengan $r^2 = 16$.
Karena $K = 74 > 16$ ($K > r^2$), maka titik $Q(-4,5)$ terletak di luar lingkaran.
Soal 18
Tentukan kedudukan titik $R(3,-1)$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0$.
Pembahasan:
Substitusikan koordinat titik $R(3,-1)$ ke dalam persamaan lingkaran $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0$.
$K = x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = (3)^2 + (-1)^2 – 4(3) + 6(-1) – 3$
$K = 9 + 1 – 12 – 6 – 3 = 10 – 12 – 6 – 3 = -2 – 6 – 3 = -11$.
Jika $K < 0$, titik di dalam lingkaran. Jika $K = 0$, titik pada lingkaran. Jika $K > 0$, titik di luar lingkaran.
Karena $K = -11 < 0$, maka titik $R(3,-1)$ terletak di dalam lingkaran.
Soal 19
Diketahui lingkaran $x^2 + y^2 = 10$. Tentukan nilai $m$ agar titik $A(m,1)$ terletak pada lingkaran.
Pembahasan:
Agar titik $A(m,1)$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 10$, maka substitusi koordinat titik A ke persamaan lingkaran harus memenuhi persamaan tersebut.
$m^2 + 1^2 = 10$
$m^2 + 1 = 10$
$m^2 = 10 – 1$
$m^2 = 9$
$m = \pm\sqrt{9}$
$m = 3$ atau $m = -3$.
Jadi, nilai $m$ agar titik $A(m,1)$ terletak pada lingkaran adalah $m=3$ atau $m=-3$.
Soal 20
Titik $T(k,3)$ terletak di luar lingkaran $L \equiv x^2+y^2-2x+4y-15=0$. Tentukan batas-batas nilai $k$.
Pembahasan:
Jika titik $T(k,3)$ terletak di luar lingkaran $L$, maka substitusi koordinat T ke dalam persamaan L akan menghasilkan nilai yang lebih besar dari 0.
$k^2 + 3^2 – 2k + 4(3) – 15 > 0$
$k^2 + 9 – 2k + 12 – 15 > 0$
$k^2 – 2k + 9 + 12 – 15 > 0$
$k^2 – 2k + 21 – 15 > 0$
$k^2 – 2k + 6 > 0$
Untuk menentukan kapan $k^2 – 2k + 6 > 0$, kita periksa diskriminan dari persamaan kuadrat $k^2 – 2k + 6 = 0$.
$D = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4(1)(6) = 4 – 24 = -20$.
Karena $D < 0$ dan koefisien $k^2$ (yaitu $a=1$) adalah positif, maka parabola $y = k^2 – 2k + 6$ selalu berada di atas sumbu-k (definit positif). Ini berarti $k^2 – 2k + 6$ selalu positif untuk semua nilai $k$ real.
Jadi, titik $T(k,3)$ selalu terletak di luar lingkaran untuk semua nilai $k \in \mathbb{R}$.
Soal 21
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, -4)$.
Pembahasan:
Titik $(3, -4)$ terletak pada lingkaran karena $3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x_1x + y_1y = r^2$.
Dengan $x_1=3$, $y_1=-4$, dan $r^2=25$, persamaan garis singgungnya adalah:
$3x + (-4)y = 25$
$3x – 4y = 25$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x – 4y = 25$.
Soal 22
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 20$ di titik $(3, 2)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(3,2)$ pada lingkaran: $(3-1)^2 + (2+2)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$. Ya, titik pada lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$.
Dengan $a=1$, $b=-2$, $x_1=3$, $y_1=2$, dan $r^2=20$, persamaan garis singgungnya adalah:
$(3-1)(x-1) + (2-(-2))(y-(-2)) = 20$
$2(x-1) + (2+2)(y+2) = 20$
$2(x-1) + 4(y+2) = 20$
$2x – 2 + 4y + 8 = 20$
$2x + 4y + 6 = 20$
$2x + 4y = 14$ (Bagi dengan $2$)
$x + 2y = 7$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $x + 2y = 7$.
Soal 23
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 27 = 0$ di titik $(5, -8)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(5,-8)$ pada lingkaran: $5^2 + (-8)^2 – 4(5) + 6(-8) – 27 = 25 + 64 – 20 – 48 – 27 = 89 – 20 – 48 – 27 = 69 – 48 – 27 = 21 – 27 = -6 \neq 0$. Titik tidak pada lingkaran. Cek soal, mungkin ada kesalahan titik atau persamaan.
Mari kita asumsikan titik $(5, -8)$ terletak pada lingkaran dan lanjutkan. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x_1x + y_1y + \frac{A}{2}(x+x_1) + \frac{B}{2}(y+y_1) + C = 0$.
Dari $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 27 = 0$, kita punya $A=-4$, $B=6$, $C=-27$. Titik $(x_1, y_1) = (5, -8)$.
$5x + (-8)y + \frac{-4}{2}(x+5) + \frac{6}{2}(y-8) – 27 = 0$
$5x – 8y – 2(x+5) + 3(y-8) – 27 = 0$
$5x – 8y – 2x – 10 + 3y – 24 – 27 = 0$
$3x – 5y – 61 = 0$
Jadi, jika titik $(5,-8)$ ada pada lingkaran, persamaan garis singgungnya adalah $3x – 5y – 61 = 0$. Untuk soal ini, karena titik tidak pada lingkaran, seharusnya dicari garis polar atau soal direvisi.
Soal 24
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=13$ yang melalui titik $(-2,3)$.
Pembahasan:
Titik $(-2,3)$ terletak pada lingkaran karena $(-2)^2 + 3^2 = 4+9 = 13$.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x_1x + y_1y = r^2$.
Dengan $x_1=-2$, $y_1=3$, dan $r^2=13$, persamaan garis singgungnya adalah:
$-2x + 3y = 13$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $-2x + 3y = 13$.
Soal 25
Garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ di titik $(1,2)$ adalah…
Pembahasan:
Periksa titik $(1,2)$ pada lingkaran: $1^2+2^2-6(1)-2(2)+5 = 1+4-6-4+5 = 5-6-4+5 = -1-4+5 = 0$. Ya, titik pada lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x_1x + y_1y + \frac{A}{2}(x+x_1) + \frac{B}{2}(y+y_1) + C = 0$.
Dari $x^2+y^2-6x-2y+5=0$, kita punya $A=-6$, $B=-2$, $C=5$. Titik $(x_1, y_1) = (1, 2)$.
$1x + 2y + \frac{-6}{2}(x+1) + \frac{-2}{2}(y+2) + 5 = 0$
$x + 2y – 3(x+1) – 1(y+2) + 5 = 0$
$x + 2y – 3x – 3 – y – 2 + 5 = 0$
$-2x + y = 0$ atau $y = 2x$.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = 2x$.
Soal 26-30: Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu
Soal 26
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ yang memiliki gradien $2$.
Pembahasan:
Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ memiliki $r^2 = 9$, jadi $r=3$. Gradien $m=2$.
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$.
$y = 2x \pm 3\sqrt{1+2^2}$
$y = 2x \pm 3\sqrt{1+4}$
$y = 2x \pm 3\sqrt{5}$
Jadi, ada dua garis singgung: $y = 2x + 3\sqrt{5}$ dan $y = 2x – 3\sqrt{5}$.
Soal 27
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$ yang memiliki gradien $-1$.
Pembahasan:
Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ memiliki pusat $(a,b)=(2,-3)$ dan $r^2=4$, jadi $r=2$. Gradien $m=-1$.
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y-b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$.
$y-(-3) = -1(x-2) \pm 2\sqrt{1+(-1)^2}$
$y+3 = -(x-2) \pm 2\sqrt{1+1}$
$y+3 = -x+2 \pm 2\sqrt{2}$
$y = -x+2-3 \pm 2\sqrt{2}$
$y = -x-1 \pm 2\sqrt{2}$
Jadi, ada dua garis singgung: $y = -x-1 + 2\sqrt{2}$ dan $y = -x-1 – 2\sqrt{2}$.
Soal 28
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=10$ yang sejajar dengan garis $y = 3x+5$ adalah…
Pembahasan:
Garis $y=3x+5$ memiliki gradien $m_1=3$. Garis singgung yang sejajar juga memiliki gradien $m=3$.
Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ memiliki $r^2 = 10$, jadi $r=\sqrt{10}$.
Persamaan garis singgungnya: $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$.
$y = 3x \pm \sqrt{10}\sqrt{1+3^2}$
$y = 3x \pm \sqrt{10}\sqrt{1+9}$
$y = 3x \pm \sqrt{10}\sqrt{10}$
$y = 3x \pm 10$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = 3x + 10$ dan $y = 3x – 10$.
Soal 29
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ yang tegak lurus garis $3x-4y=12$.
Pembahasan:
Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar: $(x^2-4x) + (y^2+2y) = 4$
$(x^2-4x+4) + (y^2+2y+1) = 4+4+1$
$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$. Pusat $(2,-1)$, $r=3$.
Gradien garis $3x-4y=12 \Rightarrow 4y = 3x-12 \Rightarrow y = \frac{3}{4}x – 3$. Jadi $m_1 = \frac{3}{4}$.
Gradien garis singgung $m_2$ tegak lurus $m_1$, maka $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$.
Persamaan garis singgung: $y-b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$.
$y-(-1) = -\frac{4}{3}(x-2) \pm 3\sqrt{1+(-\frac{4}{3})^2}$
$y+1 = -\frac{4}{3}(x-2) \pm 3\sqrt{1+\frac{16}{9}}$
$y+1 = -\frac{4}{3}(x-2) \pm 3\sqrt{\frac{9+16}{9}}$
$y+1 = -\frac{4}{3}(x-2) \pm 3\sqrt{\frac{25}{9}}$
$y+1 = -\frac{4}{3}(x-2) \pm 3(\frac{5}{3})$
$y+1 = -\frac{4}{3}(x-2) \pm 5$
Kalikan dengan $3$: $3(y+1) = -4(x-2) \pm 15$
$3y+3 = -4x+8 \pm 15$
Garis 1: $3y+3 = -4x+8+15 \Rightarrow 3y+3 = -4x+23 \Rightarrow 4x+3y-20=0$.
Garis 2: $3y+3 = -4x+8-15 \Rightarrow 3y+3 = -4x-7 \Rightarrow 4x+3y+10=0$.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x+3y-20=0$ dan $4x+3y+10=0$.
Soal 30
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=16$ yang membentuk sudut $60^\circ$ dengan sumbu X positif adalah…
Pembahasan:
Gradien garis $m = \tan \theta = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
Lingkaran $x^2+y^2=16$, maka $r^2=16 \Rightarrow r=4$.
Persamaan garis singgung: $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 4\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}$
$y = \sqrt{3}x \pm 4\sqrt{1+3}$
$y = \sqrt{3}x \pm 4\sqrt{4}$
$y = \sqrt{3}x \pm 4(2)$
$y = \sqrt{3}x \pm 8$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = \sqrt{3}x + 8$ dan $y = \sqrt{3}x – 8$.
Soal 31-35: Persamaan Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran
Soal 31
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=4$ yang melalui titik $T(3,0)$.
Pembahasan:
Cek kedudukan titik $T(3,0)$: $3^2+0^2 = 9 > 4$. Titik di luar lingkaran.
Misalkan garis singgungnya $y – 0 = m(x – 3) \Rightarrow y = m(x-3)$.
Substitusi ke persamaan lingkaran: $x^2 + (m(x-3))^2 = 4$
$x^2 + m^2(x^2-6x+9) = 4$
$x^2 + m^2x^2 – 6m^2x + 9m^2 – 4 = 0$
$(1+m^2)x^2 – 6m^2x + (9m^2-4) = 0$.
Syarat menyinggung, Diskriminan $D=0$: $(b’)^2 – ac = 0$ jika menggunakan $D/4$. Atau $b^2-4ac=0$.
$(-6m^2)^2 – 4(1+m^2)(9m^2-4) = 0$
$36m^4 – 4(9m^2-4+9m^4-4m^2) = 0$
$36m^4 – 4(9m^4+5m^2-4) = 0$
$36m^4 – 36m^4 – 20m^2 + 16 = 0$
$-20m^2 + 16 = 0$
$20m^2 = 16 \Rightarrow m^2 = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Garis singgung 1: $y = \frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3) \Rightarrow 5y = 2\sqrt{5}x – 6\sqrt{5} \Rightarrow 2\sqrt{5}x – 5y – 6\sqrt{5} = 0$.
Garis singgung 2: $y = -\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3) \Rightarrow 5y = -2\sqrt{5}x + 6\sqrt{5} \Rightarrow 2\sqrt{5}x + 5y – 6\sqrt{5} = 0$.
Soal 32
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ yang melalui titik $P(0,4)$.
Pembahasan:
Cek kedudukan titik $P(0,4)$: $(0-1)^2 + (4-2)^2 = (-1)^2 + 2^2 = 1+4 = 5$. Titik $P$ pada lingkaran.
Ini adalah kasus garis singgung di titik pada lingkaran. Rumus: $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$.
$(0-1)(x-1) + (4-2)(y-2) = 5$
$-1(x-1) + 2(y-2) = 5$
$-x+1 + 2y-4 = 5$
$-x+2y-3 = 5$
$-x+2y = 8$ atau $x-2y+8 = 0$.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $x-2y+8 = 0$.
Soal 33
Persamaan garis singgung yang ditarik dari titik $(4,2)$ ke lingkaran $x^2+y^2=10$ adalah…
Pembahasan:
Cek kedudukan titik $(4,2)$: $4^2+2^2 = 16+4 = 20 > 10$. Titik di luar lingkaran.
Misalkan garis singgungnya $y – 2 = m(x – 4) \Rightarrow y = mx – 4m + 2$.
Substitusi ke $x^2+y^2=10$: $x^2 + (mx – 4m + 2)^2 = 10$.
$(1+m^2)x^2 + 2m(2-4m)x + ((2-4m)^2-10) = 0$.
Syarat $D=0$: $(2m(2-4m))^2 – 4(1+m^2)((2-4m)^2-10) = 0$.
Ini akan menghasilkan persamaan kuadrat dalam $m$. Mari gunakan metode garis polar.
Persamaan garis polar dari titik $(x_0,y_0)=(4,2)$ terhadap $x^2+y^2=10$ adalah $x_0x + y_0y = r^2 \Rightarrow 4x+2y=10 \Rightarrow 2x+y=5 \Rightarrow y=5-2x$.
Substitusi $y=5-2x$ ke $x^2+y^2=10$: $x^2+(5-2x)^2=10$
$x^2+25-20x+4x^2=10$
$5x^2-20x+15=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0$.
$x_1=1 \Rightarrow y_1=5-2(1)=3$. Titik singgung $A(1,3)$.
$x_2=3 \Rightarrow y_2=5-2(3)=-1$. Titik singgung $B(3,-1)$.
Garis singgung 1 melalui $(4,2)$ dan $(1,3)$: $y-2 = \frac{3-2}{1-4}(x-4) \Rightarrow y-2 = \frac{1}{-3}(x-4) \Rightarrow -3y+6 = x-4 \Rightarrow x+3y-10=0$.
Garis singgung 2 melalui $(4,2)$ dan $(3,-1)$: $y-2 = \frac{-1-2}{3-4}(x-4) \Rightarrow y-2 = \frac{-3}{-1}(x-4) \Rightarrow y-2 = 3(x-4) \Rightarrow y-2 = 3x-12 \Rightarrow 3x-y-10=0$.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $x+3y-10=0$ dan $3x-y-10=0$.
Soal 34
Panjang garis singgung dari titik $P(5,-2)$ ke lingkaran $x^2+y^2-2x-8y-10=0$ adalah…
Pembahasan:
Panjang garis singgung dari titik $(x_1, y_1)$ ke lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ diberikan oleh rumus $L = \sqrt{x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C}$. Ini adalah nilai kuasa titik tersebut.
Dengan $(x_1,y_1)=(5,-2)$ dan lingkaran $x^2+y^2-2x-8y-10=0$:
$L = \sqrt{5^2+(-2)^2-2(5)-8(-2)-10}$
$L = \sqrt{25+4-10+16-10}$
$L = \sqrt{29-10+16-10}$
$L = \sqrt{19+16-10}$
$L = \sqrt{35-10} = \sqrt{25} = 5$.
Jadi, panjang garis singgungnya adalah $5$.
Soal 35
Dari titik $A(0,1)$ ditarik garis singgung ke lingkaran $x^2+y^2-4x+2y+1=0$. Salah satu titik singgungnya adalah…
Pembahasan:
Cek titik $A(0,1)$: $0^2+1^2-4(0)+2(1)+1 = 1+2+1 = 4 > 0$. Titik di luar.
Persamaan garis polar dari $A(0,1)$ ke $x^2+y^2-4x+2y+1=0$ adalah:
$x_1x + y_1y + \frac{A}{2}(x+x_1) + \frac{B}{2}(y+y_1) + C = 0$
$0x + 1y + \frac{-4}{2}(x+0) + \frac{2}{2}(y+1) + 1 = 0$
$y – 2x + (y+1) + 1 = 0$
$y – 2x + y + 1 + 1 = 0$
$2y – 2x + 2 = 0 \Rightarrow y – x + 1 = 0 \Rightarrow y = x-1$.
Substitusi $y=x-1$ ke persamaan lingkaran:
$x^2+(x-1)^2-4x+2(x-1)+1=0$
$x^2+x^2-2x+1-4x+2x-2+1=0$
$2x^2-4x=0$
$2x(x-2)=0$.
$x_1=0 \Rightarrow y_1=0-1=-1$. Titik singgung $S_1(0,-1)$.
$x_2=2 \Rightarrow y_2=2-1=1$. Titik singgung $S_2(2,1)$.
Salah satu titik singgungnya adalah $(0,-1)$ atau $(2,1)$.
Soal 36-40: Kedudukan Dua Lingkaran
Soal 36
Bagaimana kedudukan lingkaran $L_1: x^2+y^2=9$ dan $L_2: x^2+y^2-6x-8y+21=0$?
Pembahasan:
$L_1: x^2+y^2=9$. Pusat $P_1(0,0)$, jari-jari $r_1=3$.
$L_2: x^2+y^2-6x-8y+21=0$. Pusat $P_2(-\frac{-6}{2}, -\frac{-8}{2}) = (3,4)$.
Jari-jari $r_2 = \sqrt{3^2+4^2-21} = \sqrt{9+16-21} = \sqrt{25-21} = \sqrt{4} = 2$.
Jarak antara pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Jumlah jari-jari: $r_1+r_2 = 3+2 = 5$.
Selisih jari-jari: $|r_1-r_2| = |3-2| = 1$.
Karena $d = r_1+r_2$ ($5=5$), maka kedua lingkaran bersinggungan luar.
Soal 37
Tentukan kedudukan lingkaran $L_1: (x-1)^2+(y-2)^2=4$ dan $L_2: (x-4)^2+(y-6)^2=9$.
Pembahasan:
$L_1$: Pusat $P_1(1,2)$, jari-jari $r_1=\sqrt{4}=2$.
$L_2$: Pusat $P_2(4,6)$, jari-jari $r_2=\sqrt{9}=3$.
Jarak antara pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Jumlah jari-jari: $r_1+r_2 = 2+3 = 5$.
Selisih jari-jari: $|r_1-r_2| = |2-3| = 1$.
Karena $d = r_1+r_2$ ($5=5$), maka kedua lingkaran bersinggungan luar.
Soal 38
Diketahui lingkaran $L_1: x^2+y^2+2x-4y+1=0$ dan $L_2: x^2+y^2-8x+2y+13=0$. Kedudukannya?
Pembahasan:
$L_1$: Pusat $P_1(-\frac{2}{2}, -\frac{-4}{2}) = (-1,2)$. $r_1 = \sqrt{(-1)^2+2^2-1} = \sqrt{1+4-1} = \sqrt{4}=2$.
$L_2$: Pusat $P_2(-\frac{-8}{2}, -\frac{2}{2}) = (4,-1)$. $r_2 = \sqrt{4^2+(-1)^2-13} = \sqrt{16+1-13} = \sqrt{4}=2$.
Jarak antara pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(4-(-1))^2+(-1-2)^2} = \sqrt{(5)^2+(-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \approx 5.83$.
Jumlah jari-jari: $r_1+r_2 = 2+2 = 4$.
Selisih jari-jari: $|r_1-r_2| = |2-2| = 0$.
Karena $d > r_1+r_2$ ($\sqrt{34} > 4$), maka kedua lingkaran saling lepas (tidak berpotongan).
Soal 39
Tentukan kedudukan lingkaran $L_1: x^2+y^2=1$ dan $L_2: (x-1)^2+y^2=4$.
Pembahasan:
$L_1$: Pusat $P_1(0,0)$, jari-jari $r_1=1$.
$L_2$: Pusat $P_2(1,0)$, jari-jari $r_2=\sqrt{4}=2$.
Jarak antara pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$.
Jumlah jari-jari: $r_1+r_2 = 1+2 = 3$.
Selisih jari-jari: $|r_1-r_2| = |1-2| = 1$.
Karena $d = |r_1-r_2|$ ($1=1$), maka kedua lingkaran bersinggungan dalam. Lingkaran $L_1$ berada di dalam $L_2$ dan bersinggungan.
Soal 40
Agar lingkaran $L_1: x^2+y^2-2x-2y+1=0$ dan $L_2: x^2+y^2+4x+2y+k=0$ bersinggungan luar, nilai $k$ adalah…
Pembahasan:
$L_1: (x^2-2x+1) + (y^2-2y+1) = -1+1+1 \Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=1$. Pusat $P_1(1,1)$, $r_1=1$.
$L_2$: Pusat $P_2(-\frac{4}{2}, -\frac{2}{2}) = (-2,-1)$. Jari-jari $r_2 = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2-k} = \sqrt{4+1-k} = \sqrt{5-k}$. Agar $r_2$ terdefinisi, $5-k \ge 0 \Rightarrow k \le 5$.
Jarak antara pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(-2-1)^2+(-1-1)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
Syarat bersinggungan luar: $d = r_1+r_2$.
$\sqrt{13} = 1 + \sqrt{5-k}$
$\sqrt{13} – 1 = \sqrt{5-k}$
Kuadratkan kedua sisi: $(\sqrt{13}-1)^2 = 5-k$
$13 – 2\sqrt{13} + 1 = 5-k$
$14 – 2\sqrt{13} = 5-k$
$k = 5 – (14 – 2\sqrt{13})$
$k = 5 – 14 + 2\sqrt{13}$
$k = 2\sqrt{13} – 9$.
Periksa $k \le 5$: $2\sqrt{13} – 9 \approx 2(3.6) – 9 = 7.2 – 9 = -1.8$. Ini memenuhi $k \le 5$.
Jadi, nilai $k$ adalah $2\sqrt{13} – 9$.
Soal 41
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran $L_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ dan $L_2: x^2+y^2-10x-12y+40=0$ serta melalui titik $O(0,0)$.
Pembahasan:
Persamaan berkas lingkaran yang melalui titik potong $L_1=0$ dan $L_2=0$ adalah $L_1 + \lambda L_2 = 0$.
$(x^2+y^2-2x-4y-4) + \lambda(x^2+y^2-10x-12y+40) = 0$.
Karena lingkaran melalui titik $O(0,0)$, substitusikan $x=0, y=0$:
$(0+0-0-0-4) + \lambda(0+0-0-0+40) = 0$
$-4 + 40\lambda = 0 \Rightarrow 40\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.
Substitusikan \lambda = \frac{1}{10}$ ke persamaan berkas:
$(x^2+y^2-2x-4y-4) + \frac{1}{10}(x^2+y^2-10x-12y+40) = 0$
Kalikan dengan $10$:
$10(x^2+y^2-2x-4y-4) + (x^2+y^2-10x-12y+40) = 0$
$10x^2+10y^2-20x-40y-40 + x^2+y^2-10x-12y+40 = 0$
$11x^2+11y^2-30x-52y = 0$.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $11x^2+11y^2-30x-52y=0$.
Soal 42
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran $x^2+y^2=25$ dan $x^2+y^2-2x-4y-11=0$ serta berpusat pada garis $x-y=0$.
Pembahasan:
$L_1: x^2+y^2-25=0$
$L_2: x^2+y^2-2x-4y-11=0$
Persamaan berkas: $L_1 + \lambda L_2 = 0$
$(x^2+y^2-25) + \lambda(x^2+y^2-2x-4y-11) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 – 2\lambda x – 4\lambda y – (25+11\lambda) = 0$
Bagi dengan $(1+\lambda)$ (asumsi $\lambda \neq -1$):
$x^2+y^2 – \frac{2\lambda}{1+\lambda}x – \frac{4\lambda}{1+\lambda}y – \frac{25+11\lambda}{1+\lambda} = 0$.
Pusat lingkaran $(P_x, P_y) = (\frac{\lambda}{1+\lambda}, \frac{2\lambda}{1+\lambda})$.
Karena pusat terletak pada garis $x-y=0$, maka $P_x = P_y$.
\frac{\lambda}{1+\lambda} = \frac{2\lambda}{1+\lambda}$
Jika $\lambda=0$, maka pusatnya $(0,0)$. Persamaan lingkarannya $x^2+y^2-25=0$. $0-0=0$. Ini satu solusi.
Jika $\lambda \neq 0$, maka \frac{1}{1+\lambda} = \frac{2}{1+\lambda}$. Ini berarti $1=2$, yang tidak mungkin. Jadi harus ada kesalahan.
Alternatif, garis kuasa: $L_1-L_2=0$. $(x^2+y^2-25) – (x^2+y^2-2x-4y-11) = 0$
$2x+4y-14=0 \Rightarrow x+2y-7=0$. Ini adalah garis yang melalui titik potong.
Pusat lingkaran yang dicari $(a,b)$ terletak pada $x-y=0$, jadi $a=b$.
Pusat juga harus terletak pada garis yang menghubungkan pusat $L_1 (0,0)$ dan $L_2 (1,2)$ jika ingin lebih spesifik, namun soal hanya mensyaratkan pusat pada $x-y=0$.
Kembali ke \frac{\lambda}{1+\lambda} = \frac{2\lambda}{1+\lambda}$. Jika $1+\lambda \neq 0$, maka $\lambda = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 0$.
Jika $\lambda=0$, persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2-25=0$. Pusat $(0,0)$, dan $0-0=0$. Ini memenuhi.
Jika $1+\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$. Persamaan berkas menjadi $L_1 – L_2 = 0$, yaitu $2x+4y-14=0$, yang merupakan garis, bukan lingkaran. Maka $\lambda \neq -1$.
Sepertinya ada asumsi yang kurang tepat dalam penyelesaian standar. Solusi $\lambda=0$ memberikan $x^2+y^2=25$.
Soal 43
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $(1,1)$ dan melalui titik potong lingkaran $x^2+y^2=5$ dan $(x-1)^2+(y-2)^2=4$.
Pembahasan:
$L_1: x^2+y^2-5=0$
$L_2: x^2-2x+1+y^2-4y+4-4=0 \Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+1=0$
Berkas: $(x^2+y^2-5) + \lambda(x^2+y^2-2x-4y+1) = 0$.
Melalui $(1,1)$: $(1^2+1^2-5) + \lambda(1^2+1^2-2(1)-4(1)+1) = 0$
$(1+1-5) + \lambda(1+1-2-4+1) = 0$
$-3 + \lambda(2-2-4+1) = 0$
$-3 + \lambda(-3) = 0 \Rightarrow -3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$.
Substitusi \lambda = -1$: $(x^2+y^2-5) – (x^2+y^2-2x-4y+1) = 0$
$x^2+y^2-5 – x^2-y^2+2x+4y-1 = 0$
$2x+4y-6=0 \Rightarrow x+2y-3=0$. Ini adalah garis (tali busur persekutuan), bukan lingkaran. Ini terjadi karena titik $(1,1)$ terletak pada kedua lingkaran, jadi perpotongan kedua lingkaran adalah titik itu sendiri atau garis jika identik. $(1)^2+(1)^2=2 \neq 5$. Titik $(1,1)$ tidak pada $L_1$.
Cek titik $(1,1)$ pada $L_1: 1^2+1^2 = 2 \neq 5$.
Cek titik $(1,1)$ pada $L_2: (1-1)^2+(1-2)^2 = 0^2+(-1)^2 = 1 \neq 4$.
Titik $(1,1)$ tidak pada kedua lingkaran. Perhitungan \lambda=-1$ sudah benar. Ini berarti titik $(1,1)$ terletak pada garis kuasa $L_1-L_2=0$. Soal ini meminta lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran DAN titik $(1,1)$. Jika $(1,1)$ ada di garis kuasa, maka akan ada banyak lingkaran. Kita butuh kondisi lain atau ada kesalahan soal.
Jika \lambda = -1$ adalah satu-satunya solusi, maka tidak ada lingkaran yang memenuhi kecuali titik tersebut merupakan titik potong.
Soal 44
Tentukan persamaan garis kuasa dari lingkaran $L_1: x^2+y^2+4x-6y+3=0$ dan $L_2: x^2+y^2-2x+8y-7=0$.
Pembahasan:
Persamaan garis kuasa diperoleh dengan $L_1 – L_2 = 0$.
$(x^2+y^2+4x-6y+3) – (x^2+y^2-2x+8y-7) = 0$
$x^2+y^2+4x-6y+3 – x^2-y^2+2x-8y+7 = 0$
$(4x+2x) + (-6y-8y) + (3+7) = 0$
$6x – 14y + 10 = 0$
Bagi dengan $2$: $3x – 7y + 5 = 0$.
Jadi, persamaan garis kuasanya adalah $3x – 7y + 5 = 0$.
Soal 45
Tentukan titik kuasa dari lingkaran $L_1: x^2+y^2=25$, $L_2: x^2+y^2-2x-3=0$, dan $L_3: x^2+y^2-4y-1=0$.
Pembahasan:
Titik kuasa adalah titik potong dari dua garis kuasa.
Garis kuasa $L_1$ dan $L_2$: $L_1-L_2=0$
$(x^2+y^2-25) – (x^2+y^2-2x-3) = 0$
$2x-22=0 \Rightarrow 2x=22 \Rightarrow x=11$. (Garis kuasa 1: $g_1 \equiv x=11$)
Garis kuasa $L_1$ dan $L_3$: $L_1-L_3=0$
$(x^2+y^2-25) – (x^2+y^2-4y-1) = 0$
$4y-24=0 \Rightarrow 4y=24 \Rightarrow y=6$. (Garis kuasa 2: $g_2 \equiv y=6$)
Titik kuasa adalah perpotongan $g_1$ dan $g_2$.
Substitusi $x=11$ dan $y=6$.
Jadi, titik kuasanya adalah $(11, 6)$.
Soal 46-50: Kuasa Titik dan Variasi Soal
Soal 46
Tentukan kuasa titik $P(2,-1)$ terhadap lingkaran $L: x^2+y^2-6x+4y-3=0$.
Pembahasan:
Kuasa titik $(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $K = x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C$.
Untuk $P(2,-1)$ dan $L: x^2+y^2-6x+4y-3=0$:
$K = (2)^2 + (-1)^2 – 6(2) + 4(-1) – 3$
$K = 4 + 1 – 12 – 4 – 3$
$K = 5 – 12 – 4 – 3$
$K = -7 – 4 – 3 = -11 – 3 = -14$.
Jadi, kuasa titik $P(2,-1)$ terhadap lingkaran $L$ adalah $-14$. (Karena $K<0$, titik P di dalam lingkaran).
Soal 47
Jika kuasa titik $A(a,1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ adalah $1$, tentukan nilai $a$.
Pembahasan:
Kuasa $K = a^2+1^2-4(a)+2(1)-4$.
Diketahui $K=1$.
$a^2+1-4a+2-4 = 1$
$a^2-4a+3-4 = 1$
$a^2-4a-1 = 1$
$a^2-4a-2 = 0$.
Gunakan rumus ABC untuk mencari $a$: $a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.
Jadi, nilai $a$ adalah $2 + \sqrt{6}$ atau $2 – \sqrt{6}$.
Soal 48
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $A(1,2)$ dan $B(3,4)$ dan pusatnya terletak pada garis $3x+y-3=0$.
Pembahasan:
Misalkan pusat lingkaran $P(a,b)$. Karena pusat pada garis $3x+y-3=0$, maka $3a+b-3=0 \Rightarrow b = 3-3a$.
Jarak $PA^2 = PB^2$ (karena PA dan PB adalah jari-jari).
$(a-1)^2 + (b-2)^2 = (a-3)^2 + (b-4)^2$
$(a-1)^2 + ( (3-3a)-2 )^2 = (a-3)^2 + ( (3-3a)-4 )^2$
$(a-1)^2 + (1-3a)^2 = (a-3)^2 + (-1-3a)^2$
$(a^2-2a+1) + (1-6a+9a^2) = (a^2-6a+9) + (1+6a+9a^2)$
$10a^2-8a+2 = 10a^2+10$
$-8a+2 = 10$
$-8a = 8 \Rightarrow a = -1$.
$b = 3-3a = 3-3(-1) = 3+3 = 6$.
Pusat lingkaran $P(-1,6)$.
Jari-jari $r^2 = PA^2 = (-1-1)^2 + (6-2)^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4+16 = 20$.
Persamaan lingkaran: $(x-(-1))^2 + (y-6)^2 = 20$
$(x+1)^2 + (y-6)^2 = 20$.
Jadi, persamaannya adalah $(x+1)^2 + (y-6)^2 = 20$.
Soal 49
Lingkaran $L_1: x^2+y^2-10x+2y+17=0$ dan $L_2: x^2+y^2+8x-22y-7=0$. Tentukan panjang tali busur persekutuan.
Pembahasan:
Garis kuasa (tali busur persekutuan): $L_1-L_2=0$.
$(x^2+y^2-10x+2y+17) – (x^2+y^2+8x-22y-7) = 0$
$-10x-8x + 2y+22y + 17+7 = 0$
$-18x + 24y + 24 = 0$ (Bagi dengan $-6$)
$3x – 4y – 4 = 0 \Rightarrow 3x-4 = 4y \Rightarrow y = \frac{3x-4}{4}$.
Substitusi $y$ ke $L_1$: $x^2+(\frac{3x-4}{4})^2-10x+2(\frac{3x-4}{4})+17=0$
$x^2+\frac{9x^2-24x+16}{16}-10x+\frac{3x-4}{2}+17=0$ (Kalikan $16$)
$16x^2+9x^2-24x+16 – 160x + 8(3x-4) + 16(17) = 0$
$16x^2+9x^2-24x+16 – 160x + 24x-32 + 272 = 0$
$25x^2 – 160x + 256 = 0$.
Gunakan rumus ABC. $x = \frac{160 \pm \sqrt{160^2 – 4(25)(256)}}{2(25)} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 – 25600}}{50} = \frac{160}{50} = \frac{16}{5} = 3.2$.
Karena diskriminan $0$, berarti kedua lingkaran bersinggungan. Jadi panjang tali busur persekutuan adalah $0$. Titik singgungnya $x=3.2$.
$y = \frac{3(3.2)-4}{4} = \frac{9.6-4}{4} = \frac{5.6}{4} = 1.4$.
Titik singgung $(3.2, 1.4)$. Panjang tali busur $0$.
Soal 50
Diketahui lingkaran $L: (x-2)^2+(y+1)^2=13$. Jika titik $A(k,2)$ terletak pada lingkaran, tentukan nilai $k$.
Pembahasan:
Karena titik $A(k,2)$ terletak pada lingkaran, substitusikan koordinatnya ke persamaan lingkaran:
$(k-2)^2 + (2+1)^2 = 13$
$(k-2)^2 + (3)^2 = 13$
$(k-2)^2 + 9 = 13$
$(k-2)^2 = 13 – 9$
$(k-2)^2 = 4$
$k-2 = \pm\sqrt{4}$
$k-2 = \pm 2$.
Kasus 1: $k-2 = 2 \Rightarrow k = 2+2 = 4$.
Kasus 2: $k-2 = -2 \Rightarrow k = -2+2 = 0$.
Jadi, nilai $k$ adalah $0$ atau $4$.
Soal 51-55: Aplikasi dan Soal Kombinasi
Soal 51
Suatu taman berbentuk lingkaran dengan keliling $44$ m. Jika \pi = \frac{22}{7}$, maka luas taman tersebut adalah…
Pembahasan:
Keliling lingkaran $K = 2\pi r$.
$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$44 = \frac{44}{7} r$
$r = 44 \times \frac{7}{44} = 7$ m.
Luas lingkaran $L = \pi r^2$.
$L = \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 22 \times 7 = 154$ $m^2$.
Jadi, luas taman tersebut adalah $154$ $m^2$.
Soal 52
Persamaan lingkaran yang konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-17=0$ dan melalui titik $(2,-1)$ adalah…
Pembahasan:
Lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-17=0$.
Pusat $(-\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2}) = (2, -3)$.
Lingkaran yang dicari konsentris, jadi pusatnya juga $(2,-3)$.
Lingkaran melalui titik $(2,-1)$. Jari-jari $r$ adalah jarak dari pusat $(2,-3)$ ke $(2,-1)$.
$r = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + (-1+3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
Persamaan lingkaran dengan pusat $(2,-3)$ dan $r=2$:
$(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 2^2$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$.
Jadi, persamaannya adalah $(x-2)^2+(y+3)^2=4$.
Soal 53
Garis $y=2x+c$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2-2x-2y-2=0$. Nilai $c$ adalah…
Pembahasan:
Substitusi $y=2x+c$ ke persamaan lingkaran:
$x^2+(2x+c)^2-2x-2(2x+c)-2=0$
$x^2+4x^2+4cx+c^2-2x-4x-2c-2=0$
$5x^2 + (4c-6)x + (c^2-2c-2) = 0$.
Syarat menyinggung, Diskriminan $D=0$: $b^2-4ac=0$.
$(4c-6)^2 – 4(5)(c^2-2c-2) = 0$
$16c^2-48c+36 – 20(c^2-2c-2) = 0$
$16c^2-48c+36 – 20c^2+40c+40 = 0$
$-4c^2-8c+76 = 0$ (Bagi dengan $-4$)
$c^2+2c-19 = 0$.
Gunakan rumus ABC untuk $c$: $c = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4(1)(-19)}}{2(1)}$
$c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16 \times 5}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{5}$.
Jadi, nilai $c$ adalah $-1 + 2\sqrt{5}$ atau $-1 – 2\sqrt{5}$.
Soal 54
Lingkaran $L_1: x^2+y^2=r^2$ dan $L_2: x^2+y^2-10x+16=0$. Agar $L_1$ memotong $L_2$ di dua titik berbeda, maka batas nilai $r$ adalah…
Pembahasan:
$L_1$: Pusat $P_1(0,0)$, jari-jari $r_1=r$. ($r>0$)
$L_2: (x^2-10x+25)+y^2 = -16+25 \Rightarrow (x-5)^2+y^2=9$. Pusat $P_2(5,0)$, jari-jari $r_2=3$.
Jarak antar pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{25} = 5$.
Syarat memotong di dua titik berbeda: $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$.
$|r-3| < 5 < r+3$.
Dari $5 < r+3 \Rightarrow r > 5-3 \Rightarrow r > 2$.
Dari $|r-3| < 5$:
$-5 < r-3 < 5$
$-5+3 < r < 5+3$
$-2 < r < 8$.
Kombinasikan $r>2$ dan $-2 < r < 8$ (dan $r>0$):
Irisan dari $(2, \infty)$ dan $(-2, 8)$ adalah $(2, 8)$.
Jadi, batas nilai $r$ adalah $2 < r < 8$.
Soal 55
Titik $(a,b)$ adalah pusat lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$. Nilai $2a-b$ adalah…
Pembahasan:
Pusat lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$.
Untuk $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, $A=-2$, $B=4$.
Pusat $(a,b) = (-\frac{-2}{2}, -\frac{4}{2}) = (1, -2)$.
Jadi $a=1$ dan $b=-2$.
Nilai $2a-b = 2(1) – (-2) = 2+2 = 4$.
Jadi, $2a-b = 4$.
Soal 56-60: Soal Tantangan dan Pembuktian Sederhana
Soal 56
Buktikan bahwa garis $ax+by=c$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2=r^2$ jika dan hanya jika $c^2 = r^2(a^2+b^2)$.
Pembahasan:
Cara 1: Jarak pusat ke garis sama dengan jari-jari.
Pusat lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $(0,0)$. Jari-jari adalah $r$.
Jarak dari $(0,0)$ ke garis $ax+by-c=0$ adalah $d = \frac{|a(0)+b(0)-c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Syarat menyinggung $d=r$: \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
$|c| = r\sqrt{a^2+b^2}$. Kuadratkan kedua sisi: $c^2 = r^2(a^2+b^2)$. Terbukti.
Cara 2: Substitusi dan Diskriminan.
Dari $ax+by=c$, misalkan $b \neq 0$, $y = \frac{c-ax}{b}$. Substitusi ke $x^2+y^2=r^2$.
$x^2 + (\frac{c-ax}{b})^2 = r^2$
$b^2x^2 + (c-ax)^2 = b^2r^2$
$b^2x^2 + c^2-2acx+a^2x^2 = b^2r^2$
$(a^2+b^2)x^2 – 2acx + (c^2-b^2r^2) = 0$.
Syarat menyinggung $D=0$: $(-2ac)^2 – 4(a^2+b^2)(c^2-b^2r^2) = 0$.
$4a^2c^2 – 4(a^2c^2-a^2b^2r^2+b^2c^2-b^4r^2) = 0$. (Bagi $4$)
$a^2c^2 – (a^2c^2-a^2b^2r^2+b^2c^2-b^4r^2) = 0$.
$a^2b^2r^2 – b^2c^2 + b^4r^2 = 0$.
Jika $b \neq 0$, bagi dengan $b^2$: $a^2r^2 – c^2 + b^2r^2 = 0$.
$r^2(a^2+b^2) – c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = r^2(a^2+b^2)$. Terbukti. (Jika $b=0$, maka $ax=c$, $a \neq 0$. Maka $a^2x^2=c^2$. Lingkaran $x^2+y^2=r^2$. Garis $x=c/a$. $(c/a)^2+y^2=r^2$. Menyinggung jika $y=0$ dan $(c/a)^2=r^2$. Dari rumus $c^2=r^2(a^2+0^2)=r^2a^2$, cocok).
Soal 57
Dua lingkaran $x^2+y^2+2Ax+C=0$ dan $x^2+y^2+2By+C=0$ dengan $A,B \neq 0$. Jika kedua lingkaran bersinggungan, tunjukkan bahwa $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} = \frac{1}{C}$. (Asumsikan $C>0$)
Pembahasan:
$L_1: x^2+2Ax+A^2+y^2 = A^2-C \Rightarrow (x+A)^2+y^2=A^2-C$. Pusat $P_1(-A,0)$, $r_1^2=A^2-C$. Agar $r_1$ real, $A^2-C \ge 0$.
$L_2: x^2+y^2+2By+B^2 = B^2-C \Rightarrow x^2+(y+B)^2=B^2-C$. Pusat $P_2(0,-B)$, $r_2^2=B^2-C$. Agar $r_2$ real, $B^2-C \ge 0$.
Jarak antar pusat $d = P_1P_2 = \sqrt{(0-(-A))^2+(-B-0)^2} = \sqrt{A^2+B^2}$.
Syarat bersinggungan: $d = r_1+r_2$ atau $d = |r_1-r_2|$.
Misal bersinggungan luar: $\sqrt{A^2+B^2} = \sqrt{A^2-C} + \sqrt{B^2-C}$.
Kuadratkan: $A^2+B^2 = (A^2-C) + (B^2-C) + 2\sqrt{(A^2-C)(B^2-C)}$.
$A^2+B^2 = A^2+B^2-2C + 2\sqrt{(A^2-C)(B^2-C)}$.
$2C = 2\sqrt{(A^2-C)(B^2-C)}$.
$C = \sqrt{(A^2-C)(B^2-C)}$. (Karena $C>0$)
Kuadratkan lagi: $C^2 = (A^2-C)(B^2-C) = A^2B^2 – A^2C – B^2C + C^2$.
$0 = A^2B^2 – A^2C – B^2C$.
$A^2C + B^2C = A^2B^2$.
Bagi dengan $A^2B^2C$ (asumsi $A,B,C \neq 0$):
\frac{A^2C}{A^2B^2C} + \frac{B^2C}{A^2B^2C} = \frac{A^2B^2}{A^2B^2C}$.
\frac{1}{B^2} + \frac{1}{A^2} = \frac{1}{C}$. Terbukti.
Kasus bersinggungan dalam: $d = |r_1-r_2|$ akan menghasilkan kondisi yang sama.
Soal 58
Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya terhadap lingkaran $L_1: x^2+y^2-4=0$ sama dengan kuasanya terhadap lingkaran $L_2: x^2+y^2-2x-4y+1=0$.
Pembahasan:
Kuasa titik $(x,y)$ terhadap $L_1$ adalah $K_1 = x^2+y^2-4$.
Kuasa titik $(x,y)$ terhadap $L_2$ adalah $K_2 = x^2+y^2-2x-4y+1$.
Syarat $K_1=K_2$: $x^2+y^2-4 = x^2+y^2-2x-4y+1$.
$-4 = -2x-4y+1$.
$2x+4y-4-1 = 0$.
$2x+4y-5 = 0$.
Tempat kedudukan titik-titik tersebut adalah garis lurus $2x+4y-5=0$, yang merupakan garis kuasa dari kedua lingkaran.
Soal 59
Sebuah roda dengan jari-jari $20$ cm berputar menempuh jarak $1256$ cm. Berapa kali roda tersebut berputar? (Gunakan \pi = 3.14$)
Pembahasan:
Jari-jari roda $r = 20$ cm.
Keliling roda $K = 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 20 = 6.28 \times 20 = 125.6$ cm.
Jarak tempuh $J = 1256$ cm.
Banyak putaran $N = \frac{\text{Jarak tempuh}}{\text{Keliling roda}} = \frac{J}{K}$.
$N = \frac{1256}{125.6} = 10$.
Jadi, roda tersebut berputar sebanyak $10$ kali.
Soal 60
Tunjukkan bahwa persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tidak segaris $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, dan $(x_3, y_3)$ dapat ditulis dalam bentuk determinan:
$\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
Pembahasan:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Ini dapat ditulis ulang sebagai $A(x^2+y^2) + Dx + Ey + F = 0$ jika kita membagi seluruhnya dengan koefisien $x^2+y^2$ (misalnya $A’$ menjadi $1$).
Lebih baik, $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Ini adalah persamaan linear dalam hal $D, E, F$ jika $x^2+y^2$ dianggap sebagai satu kesatuan. Atau, ini adalah persamaan linear dalam $x^2+y^2, x, y, 1$ dengan koefisien tertentu.
Misalkan persamaan lingkaran adalah $c_1(x^2+y^2) + c_2x + c_3y + c_4 = 0$.
Karena keempat titik (titik umum $(x,y)$ dan tiga titik yang diberikan) terletak pada lingkaran, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan ini.
$c_1(x^2+y^2) + c_2x + c_3y + c_4(1) = 0$
$c_1(x_1^2+y_1^2) + c_2x_1 + c_3y_1 + c_4(1) = 0$
$c_1(x_2^2+y_2^2) + c_2x_2 + c_3y_2 + c_4(1) = 0$
$c_1(x_3^2+y_3^2) + c_2x_3 + c_3y_3 + c_4(1) = 0$
Ini adalah sistem persamaan linear homogen dalam variabel $c_1, c_2, c_3, c_4$. Agar sistem ini memiliki solusi non-trivial (tidak semua $c_i=0$), maka determinan dari matriks koefisiennya harus nol.
Matriks koefisiennya (atau lebih tepatnya, matriks dari kolom-kolom yang dikalikan dengan $c_i$) adalah:
$\begin{pmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}$
Maka, agar ada solusi non-trivial untuk $c_1, c_2, c_3, c_4$, determinan matriks ini harus $0$.
$\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
Jika $c_1=0$, ini akan menjadi persamaan garis. Tiga titik tidak segaris menjamin $c_1 \neq 0$ untuk persamaan lingkaran.
Jika kita mengambil bentuk standar $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, maka kita punya empat persamaan:
$(x^2+y^2) + Dx + Ey + F(1) = 0$
$(x_1^2+y_1^2) + Dx_1 + Ey_1 + F(1) = 0$
$(x_2^2+y_2^2) + Dx_2 + Ey_2 + F(1) = 0$
$(x_3^2+y_3^2) + Dx_3 + Ey_3 + F(1) = 0$
Ini bisa dilihat sebagai sistem persamaan linear untuk $1, D, E, F$ (koefisiennya adalah $(x^2+y^2), x, y, 1$, dll.). Agar ada solusi non-trivial, determinan harus nol. Ini adalah interpretasi standar dari bentuk determinan untuk lingkaran melalui tiga titik.
