Soal & pembahasan limit fungsi lengkap dengan solusi yang mudah dipahami. Artikel ini akan membantumu belajar limit dengan cara yang lebih mudah.
Materi Limit Fungsi: Rangkuman, Rumus, dan Contoh Soal
Pengertian Limit Fungsi
Limit fungsi menyatakan nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabel bebasnya mendekati suatu nilai tertentu. Secara formal, limit fungsi $f(x)$ saat $x$ mendekati $a$ ditulis sebagai:
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
Notasi ini dibaca: “limit $f(x)$ saat $x$ mendekati $a$ adalah $L$.”
Definisi Formal (Epsilon-Delta)
Limit $f(x)$ saat $x$ mendekati $a$ adalah $L$ jika untuk setiap bilangan positif $\varepsilon$ terdapat bilangan positif $\delta$ sehingga:
$$\text{jika } 0 < |x – a| < \delta \text{ maka } |f(x) – L| < \varepsilon$$
Jenis-Jenis Limit
- Limit Kiri: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = L_1$$
- Limit Kanan: $$\lim_{x \to a^+} f(x) = L_2$$
- Limit Dua Arah: Jika $L_1 = L_2 = L$, maka $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
- Limit di Tak Hingga: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \text{ atau } \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$
Rumus-Rumus Penting
Sifat-Sifat Limit
- Limit Fungsi Konstan: $$\lim_{x \to a} k = k$$
- Limit Fungsi Identitas: $$\lim_{x \to a} x = a$$
- Limit Penjumlahan/Pengurangan: $$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$$
- Limit Perkalian: $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$
- Limit Pembagian: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$$ dengan syarat $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$
- Limit Fungsi Pangkat: $$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n$$
- Limit Fungsi Komposisi: Jika $\lim_{x \to a} g(x) = L$ dan $f$ kontinu di $L$, maka: $$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) = f(L)$$
Limit Bentuk Tak Tentu $\frac{0}{0}$
Jika limit suatu fungsi berbentuk $\frac{0}{0}$, maka dapat diselesaikan dengan:
- Faktorisasi
- Perkalian dengan sekawan
- Aturan L’Hôpital: Jika $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ dan $\lim_{x \to a} g(x) = 0$, maka: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Limit Bentuk Tak Tentu $\frac{\infty}{\infty}$
Untuk limit berbentuk $\frac{\infty}{\infty}$, bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi.
Contoh: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 – 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 – \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{5}$$
Limit Trigonometri
- $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos ax}{bx^2} = \frac{a^2}{2b}$$
Limit Eksponensial dan Logaritma
- $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$
- $$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$
Limit Bentuk $1^{\infty}$
Untuk limit berbentuk $1^{\infty}$, gunakan rumus:
$$\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x)-1)]}$$
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar – Bagian 1
Soal 1
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 2} (3x^2 – 4x + 5)$.
Pembahasan:
Untuk fungsi polinom, kita dapat langsung mensubstitusikan nilai $x = 2$ ke dalam fungsi.
$\lim\limits_{x \to 2} (3x^2 – 4x + 5) = 3(2)^2 – 4(2) + 5 = 3(4) – 8 + 5 = 12 – 8 + 5 = 9$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 2} (3x^2 – 4x + 5) = 9$.
Soal 2
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}$.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa jika kita langsung substitusi $x = 3$, kita akan mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$ yang merupakan bentuk tak tentu.
Kita perlu memfaktorkan pembilang terlebih dahulu:
$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = \lim\limits_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6$.
Soal 3
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 4} \frac{x – 4}{\sqrt{x} – 2}$.
Pembahasan:
Jika disubstitusikan langsung, kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Mari kita selesaikan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut:
$\lim\limits_{x \to 4} \frac{x – 4}{\sqrt{x} – 2} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)}{x – 4} = \lim\limits_{x \to 4} (\sqrt{x} + 2) = 2 + 2 = 4$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 4} \frac{x – 4}{\sqrt{x} – 2} = 4$.
Soal 4
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1}$.
Pembahasan:
Bentuk limitnya adalah $\frac{0}{0}$ (tak tentu). Kita perlu memfaktorkan pembilang menggunakan rumus $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$:
$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{x – 1} = \lim\limits_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x – 1} = 3$.
Soal 5
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} – 1}{x}$.
Pembahasan:
Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} – 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1} – 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(x + 1) – 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} – 1}{x} = \frac{1}{2}$.
Soal 6
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 – x – 2}{x^2 – 4}$.
Pembahasan:
Mari kita faktorkan pembilang dan penyebut:
$x^2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)$
$x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 – x – 2}{x^2 – 4} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 1)}{(x – 2)(x + 2)} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 1}{x + 2}$
Karena pembilang dan penyebut sudah tidak mengandung faktor $x – 2$, kita bisa langsung substitusikan $x = 2$:
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{2 + 1}{2 + 2} = \frac{3}{4}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 – x – 2}{x^2 – 4} = \frac{3}{4}$.
Soal 7
Hitunglah $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x – 5}{2x^2 – 3x + 1}$.
Pembahasan:
Untuk limit yang melibatkan $x \to \infty$, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari $x$, yaitu $x^2$:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x – 5}{2x^2 – 3x + 1} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} – \frac{5}{x^2}}{2 – \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$
Saat $x \to \infty$, semua suku dengan $x$ di penyebut akan mendekati 0:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} – \frac{5}{x^2}}{2 – \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0 – 0}{2 – 0 + 0} = \frac{3}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x – 5}{2x^2 – 3x + 1} = \frac{3}{2}$.
Soal 8
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \sqrt{1 – x^2}}{x^2}$.
Pembahasan:
Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \sqrt{1 – x^2}}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(1 – \sqrt{1 – x^2})(1 + \sqrt{1 – x^2})}{x^2(1 + \sqrt{1 – x^2})} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1^2 – (1 – x^2)}{x^2(1 + \sqrt{1 – x^2})} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2(1 + \sqrt{1 – x^2})} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sqrt{1 – x^2}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \sqrt{1 – x^2}}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Soal 9
Hitunglah $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 4}{2x^3 + 5x}$.
Pembahasan:
Untuk limit yang melibatkan $x \to \infty$, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari $x$, yaitu $x^3$:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 4}{2x^3 + 5x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 – \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} – \frac{4}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^2}}$
Saat $x \to \infty$, semua suku dengan $x$ di penyebut akan mendekati 0:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 – \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} – \frac{4}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{1 – 0 + 0 – 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 4}{2x^3 + 5x} = \frac{1}{2}$.
Soal 10
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{1 + x}}{x}$.
Pembahasan:
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{1 + x}}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{1 + x})(\sqrt{1 + 3x} + \sqrt{1 + x})}{x(\sqrt{1 + 3x} + \sqrt{1 + x})} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(1 + 3x) – (1 + x)}{x(\sqrt{1 + 3x} + \sqrt{1 + x})} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1 + 3x} + \sqrt{1 + x})} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + 3x} + \sqrt{1 + x}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{1 + x}}{x} = 1$.
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar – Bagian 2
Soal 11
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^n – 1}{x}$ untuk nilai $n = 3$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan ekspansi binomial untuk $(1+x)^3$:
$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^3 – 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 + 3x + 3x^2 + x^3 – 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x + 3x^2 + x^3}{x} = \lim\limits_{x \to 0} (3 + 3x + x^2) = 3$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^3 – 1}{x} = 3$.
Soal 12
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4}$.
Pembahasan:
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang:
$\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{x – 4}{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim\limits_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} = \frac{1}{4}$.
Soal 13
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 – 8}{x – 2}$.
Pembahasan:
Kita perlu memfaktorkan pembilang menggunakan rumus $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 – 8}{x – 2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)}{x – 2} = \lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 – 8}{x – 2} = 12$.
Soal 14
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} – x\right)$.
Pembahasan:
Kita akan merasionalkan bentuk ini dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari bentuk yang ada:
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} – x\right) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} – x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x) – x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x}$
Untuk $x \to \infty$, kita bisa faktorkan $x$ dari akar:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1} + 1} = \frac{2}{2} = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} – x\right) = 1$.
Soal 15
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x} – \sqrt{1+x}}{x^3}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan beberapa fakta:
1. $\sin x = x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ (Deret Taylor untuk $\sin x$)
2. $\sqrt{1+t} = 1 + \frac{t}{2} – \frac{t^2}{8} + O(t^3)$ (Deret Taylor untuk $\sqrt{1+t}$)
Substitusikan $\sin x$ ke dalam deret Taylor:
$\sqrt{1+\sin x} = 1 + \frac{\sin x}{2} – \frac{(\sin x)^2}{8} + O((\sin x)^3)$
$= 1 + \frac{1}{2}(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)) – \frac{1}{8}(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2 + O(x^3)$
$= 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^3}{12} + O(x^5) – \frac{x^2}{8} + O(x^4) + O(x^3)$
$= 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} – \frac{x^3}{12} + O(x^4)$
Demikian juga:
$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + O(x^3)$
Sekarang kita hitung selisihnya:
$\sqrt{1+\sin x} – \sqrt{1+x} = (1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} – \frac{x^3}{12} + O(x^4)) – (1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + O(x^3))$
$= -\frac{x^3}{12} + O(x^4)$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x} – \sqrt{1+x}}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{12} + O(x^4)}{x^3} = -\frac{1}{12} + \lim\limits_{x \to 0} O(x) = -\frac{1}{12}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x} – \sqrt{1+x}}{x^3} = -\frac{1}{12}$.
Soal 16
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 2x})$.
Pembahasan:
Kita akan merasionalkan bentuk ini dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan:
$\lim\limits_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 2x}) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{(x – \sqrt{x^2 – 2x})(x + \sqrt{x^2 – 2x})}{x + \sqrt{x^2 – 2x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 – (x^2 – 2x)}{x + \sqrt{x^2 – 2x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{x + \sqrt{x^2 – 2x}}$
Untuk $x \to \infty$, kita bisa faktorkan $x$ dari akar:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{x + \sqrt{x^2 – 2x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{x + x\sqrt{1 – \frac{2}{x}}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \sqrt{1 – \frac{2}{x}}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} (x – \sqrt{x^2 – 2x}) = 1$.
Soal 17
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}} – (1-x)^{\frac{1}{3}}}{x}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk masing-masing fungsi:
$(1+2x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}(2x) – \frac{1}{8}(2x)^2 + O(x^3) = 1 + x – \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
$(1-x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-x) – \frac{1}{9}(-x)^2 + O(x^3) = 1 – \frac{x}{3} – \frac{x^2}{9} + O(x^3)$
Sehingga:
$(1+2x)^{\frac{1}{2}} – (1-x)^{\frac{1}{3}} = (1 + x – \frac{x^2}{2} + O(x^3)) – (1 – \frac{x}{3} – \frac{x^2}{9} + O(x^3))$
$= x + \frac{x}{3} – \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{9} + O(x^3) = \frac{4x}{3} – \frac{4x^2}{18} + O(x^3)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}} – (1-x)^{\frac{1}{3}}}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{4x}{3} – \frac{4x^2}{18} + O(x^3)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} (\frac{4}{3} – \frac{4x}{18} + O(x^2)) = \frac{4}{3}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}} – (1-x)^{\frac{1}{3}}}{x} = \frac{4}{3}$.
Soal 18
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 9} \frac{\sqrt[3]{x} – \sqrt[3]{9}}{\sqrt{x} – 3}$.
Pembahasan:
Kita misalkan $y = \sqrt[3]{x}$ sehingga $x = y^3$, dan $\sqrt{x} = \sqrt{y^3} = y^{3/2}$.
Saat $x \to 9$, berarti $y \to \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3} = 2.08…$
Limitnya menjadi:
$\lim\limits_{x \to 9} \frac{\sqrt[3]{x} – \sqrt[3]{9}}{\sqrt{x} – 3} = \lim\limits_{y \to 3^{2/3}} \frac{y – 3^{2/3}}{y^{3/2} – 3} = \lim\limits_{y \to 3^{2/3}} \frac{1}{(y^{3/2} – 3)/(y – 3^{2/3})}$
Kita perlu mencari turunan pembilang terhadap penyebut:
$\frac{d(y^{3/2})}{dy} = \frac{3}{2} y^{1/2}$
Sehingga:
$\lim\limits_{y \to 3^{2/3}} \frac{1}{(y^{3/2} – 3)/(y – 3^{2/3})} = \lim\limits_{y \to 3^{2/3}} \frac{1}{\frac{3}{2} y^{1/2}} = \frac{2}{3 \cdot (3^{2/3})^{1/2}} = \frac{2}{3 \cdot 3^{1/3}} = \frac{2}{3 \cdot 3^{1/3}} = \frac{2}{3 \cdot \sqrt[3]{3}}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 9} \frac{\sqrt[3]{x} – \sqrt[3]{9}}{\sqrt{x} – 3} = \frac{2}{3 \cdot \sqrt[3]{3}}$.
Soal 19
Hitunglah $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$.
Dengan menggunakan sifat eksponen, kita dapat menulis:
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \lim\limits_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^2 = \left[\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^2 = e^2$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = e^2$.
Soal 20
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} – e}{x}$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$.
Untuk menghitung limit yang diminta, kita akan menggunakan rumus:
$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}$
Kita juga tahu bahwa $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + …$
Sehingga:
$\frac{1}{x}\ln(1+x) = \frac{1}{x}(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + …) = 1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – \frac{x^3}{4} + …$
Jadi:
$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – \frac{x^3}{4} + …} = e \cdot e^{- \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – \frac{x^3}{4} + …}$
$= e \cdot (1 + (- \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – \frac{x^3}{4} + …) + \frac{1}{2!}(- \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – \frac{x^3}{4} + …)^2 + …)$
$\approx e \cdot (1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + O(x^3))$
$= e – \frac{e \cdot x}{2} + \frac{e \cdot x^2}{3} + O(x^3)$
Sehingga:
$(1+x)^{\frac{1}{x}} – e = – \frac{e \cdot x}{2} + \frac{e \cdot x^2}{3} + O(x^3)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} – e}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{- \frac{e \cdot x}{2} + \frac{e \cdot x^2}{3} + O(x^3)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} (- \frac{e}{2} + \frac{e \cdot x}{3} + O(x^2)) = -\frac{e}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} – e}{x} = -\frac{e}{2}$.
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri – Bagian 1
Soal 21
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
Pembahasan:
Ini adalah salah satu limit trigonometri yang paling mendasar.
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
Soal 22
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$.
Soal 23
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$.
Pembahasan:
Kita bisa mengubah bentuk ini menjadi:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$.
Soal 24
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$.
Pembahasan:
Kita bisa mengubah bentuk ini menjadi:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{2}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \frac{2}{5}$.
Soal 25
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2}$.
Pembahasan:
Ini adalah salah satu limit trigonometri standar. Kita tahu bahwa:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Alternatif pembuktian:
Kita bisa menggunakan identitas $1 – \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{\frac{x}{2}}{x}\right)^2 = 2 \cdot \left(1 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Soal 26
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x}$.
Pembahasan:
Kita akan mengubah bentuk ini menjadi:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{\sin 2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} \cdot \frac{1}{\cos 3x}$
$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\cos 3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} = \frac{3}{2}$.
Soal 27
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x – x \cos x}{x^3}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk fungsi $\sin x$ dan $\cos x$:
$\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – … = x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – … = 1 – \frac{x^2}{2} + O(x^4)$
Sehingga:
$\sin x – x \cos x = \left(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) – x\left(1 – \frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)$
$= x – \frac{x^3}{6} + O(x^5) – x + x \cdot \frac{x^2}{2} – x \cdot O(x^4)$
$= -\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{2} + O(x^5)$
$= \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x – x \cos x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{3} + O(x^2)\right) = \frac{1}{3}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x – x \cos x}{x^3} = \frac{1}{3}$.
Soal 28
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x}$.
Pembahasan:
Kita akan mengubah bentuk ini dengan menggunakan identitas $\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos 2x}{2x}$
$= \frac{1}{2} \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos 2x}{x}$
$= \frac{1}{2} \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos 2x}{2x} \cdot 2$
$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 – \cos 2x}{(2x)^2} \cdot 2x$
$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x \to 0} 2x$
$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x} = 0$.
Soal 29
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x – \tan x}{x^3}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk $\sin x$ dan $\tan x$:
$\sin x = x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
Sehingga:
$\sin x – \tan x = \left(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) – \left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right)$
$= x – \frac{x^3}{6} – x – \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$= -\frac{x^3}{6} – \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$= -\frac{x^3}{6} – \frac{2x^3}{6} + O(x^5)$
$= -\frac{3x^3}{6} + O(x^5)$
$= -\frac{x^3}{2} + O(x^5)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x – \tan x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2} + O(x^2)\right) = -\frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x – \tan x}{x^3} = -\frac{1}{2}$.
Soal 30
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} – \frac{1}{x}\right)$.
Pembahasan:
Kita akan mencari basis pecahan yang sama:
$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} – \frac{1}{x}\right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x \sin x}$
Kita tahu dari deret Taylor bahwa $\sin x = x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)$, sehingga $x – \sin x = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x \sin x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5))} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2 – \frac{x^4}{6} + O(x^6)}$
$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x}{6} + O(x^3)}{1 – \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = 0$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} – \frac{1}{x}\right) = 0$.
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri – Bagian 2
Soal 31
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{x}$.
Pembahasan:
Kita bisa mengubah bentuk ini menjadi:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \sin^2 x \cdot \frac{\sin x}{x}$
$= \lim\limits_{x \to 0} \sin^2 x \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \sin^2 x \cdot 1 = 0$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{x} = 0$.
Soal 32
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk $\tan x$ dan $\sin x$:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\sin x = x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
Sehingga:
$\tan x – \sin x = \left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) – \left(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)$
$= x + \frac{x^3}{3} – x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$= \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$= \frac{2x^3}{6} + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$= \frac{3x^3}{6} + O(x^5)$
$= \frac{x^3}{2} + O(x^5)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} + O(x^2)\right) = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}$.
Soal 33
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk $\cos x$ dan $e^{-\frac{x^2}{2}}$:
$\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
$e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + O(x^6)$
Sehingga:
$\cos x – e^{-\frac{x^2}{2}} = \left(1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) – \left(1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + O(x^6)\right)$
$= 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – 1 + \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{8} + O(x^6)$
$= \frac{x^4}{24} – \frac{x^4}{8} + O(x^6)$
$= \frac{x^4}{24} – \frac{3x^4}{24} + O(x^6)$
$= -\frac{2x^4}{24} + O(x^6)$
$= -\frac{x^4}{12} + O(x^6)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12} + O(x^6)}{x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \left(-\frac{1}{12} + O(x^2)\right) = -\frac{1}{12}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} = -\frac{1}{12}$.
Soal 34
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{\cos x} – \frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\right)$.
Pembahasan:
Kita tahu dari deret Taylor bahwa $\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$.
Kita akan menyamakan penyebut:
$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{\cos x} – \frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2} – \cos x}{\cos x \cdot (1-\frac{x^2}{2})}$
$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2} – (1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6))}{\cos x \cdot (1-\frac{x^2}{2})}$
$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{24} + O(x^6)}{\cos x \cdot (1-\frac{x^2}{2})}$
Saat $x \to 0$, $\cos x \to 1$ dan $1-\frac{x^2}{2} \to 1$, sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{24} + O(x^6)}{1 \cdot 1} = \lim\limits_{x \to 0} \left(-\frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) = 0$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{\cos x} – \frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\right) = 0$.
Soal 35
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – \cos 2x}{x^2}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan identitas trigonometri $\cos A – \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:
$\cos x – \cos 2x = -2\sin\frac{x+2x}{2}\sin\frac{x-2x}{2} = -2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{-x}{2} = -2\sin\frac{3x}{2} \cdot (-\sin\frac{x}{2}) = 2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – \cos 2x}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2}$
$= 2 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$
$= 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{3x}{2} \cdot \frac{x}{2}$
$= 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – \cos 2x}{x^2} = \frac{9}{8}$.
Soal 36
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x \sin 2x}{\sin 4x \sin x}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan fakta bahwa $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x \sin 2x}{\sin 4x \sin x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin 4x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{4x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin x}$
$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin x}$
$= 1 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x}$
$= \frac{3}{4} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin x} = \frac{3}{4} \cdot 1 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x}$
$= \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x \sin 2x}{\sin 4x \sin x} = \frac{3}{2}$.
Soal 37
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \tan x – \tan 2x}{x^3}$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}$. Maka:
$2 \tan x – \tan 2x = 2 \tan x – \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x} = \frac{2\tan x(1 – \tan^2 x) – 2\tan x}{1 – \tan^2 x} = \frac{2\tan x – 2\tan^3 x – 2\tan x}{1 – \tan^2 x} = \frac{-2\tan^3 x}{1 – \tan^2 x}$
Kita tahu dari deret Taylor bahwa $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$, sehingga $\tan^3 x = x^3 + O(x^5)$ saat $x \to 0$.
Juga, $1 – \tan^2 x = 1 – (x^2 + O(x^4)) = 1 – x^2 + O(x^4) \to 1$ saat $x \to 0$.
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \tan x – \tan 2x}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-2\tan^3 x}{x^3(1 – \tan^2 x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-2(x^3 + O(x^5))}{x^3(1 – x^2 + O(x^4))} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-2 – O(x^2)}{1 – x^2 + O(x^4)} = -2$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \tan x – \tan 2x}{x^3} = -2$.
Soal 38
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk $\cos x$:
$\cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \frac{x^6}{720} + …$
Sehingga:
$\cos x – 1 + \frac{x^2}{2} = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \frac{x^6}{720} + … – 1 + \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{24} – \frac{x^6}{720} + …$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{24} – \frac{x^6}{720} + …}{x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{24} – \frac{x^2}{720} + …\right) = \frac{1}{24}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x – 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4} = \frac{1}{24}$.
Soal 39
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x}\right)$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan identitas $\arctan a – \arctan b = \arctan \frac{a – b}{1 + ab}$ (untuk $1 + ab > 0$).
Karena $\arctan \infty = \frac{\pi}{2}$, maka:
$\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x} = \arctan \infty – \arctan \frac{1}{x} = \arctan \frac{\infty – \frac{1}{x}}{1 + \infty \cdot \frac{1}{x}} = \arctan x$
Alternatif lain:
$\arctan \frac{1}{x} + \arctan x = \frac{\pi}{2}$ (untuk $x > 0$), maka $\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x} = \arctan x$.
Untuk kasus $x < 0$, $\arctan \frac{1}{x} + \arctan x = -\frac{\pi}{2}$, maka $\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \arctan x = \pi + \arctan x$.
Namun, karena kita memeriksa limit saat $x \to 0$, kita perlu berhati-hati. Saat $x \to 0^+$, $\arctan \frac{1}{x} \to \frac{\pi}{2}$, sedangkan saat $x \to 0^-$, $\arctan \frac{1}{x} \to -\frac{\pi}{2}$.
Kita perlu menghitung limit kiri dan kanan secara terpisah:
$\lim\limits_{x \to 0^+} \left(\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x}\right) = \lim\limits_{x \to 0^+} \arctan x = 0$
$\lim\limits_{x \to 0^-} \left(\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x}\right) = \lim\limits_{x \to 0^-} (\pi + \arctan x) = \pi$
Karena limit kiri dan kanan berbeda, limit tidak ada.
Jadi, $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{\pi}{2} – \arctan \frac{1}{x}\right)$ tidak ada.
Soal 40
Hitunglah $\lim\limits_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$.
Pembahasan:
Kita akan membuat substitusi $t = \frac{1}{x}$ sehingga saat $x \to \infty$, $t \to 0$.
Maka:
$\lim\limits_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \sin t = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1$.
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Soal 51
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x}$.
Pembahasan:
Ini adalah salah satu limit dasar untuk fungsi eksponensial.
Kita tahu dari deret Taylor bahwa $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + …$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + … – 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + …\right) = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1$.
Soal 52
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$.
Pembahasan:
Ini adalah salah satu limit dasar untuk fungsi logaritma.
Kita tahu dari deret Taylor bahwa $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + …$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + …}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \left(1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – \frac{x^3}{4} + …\right) = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$.
Soal 53
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – e^{-x}}{2x}$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $e^x – e^{-x} = 2 \sinh x$. Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – e^{-x}}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2 \sinh x}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$
Alternatif lain, kita bisa menggunakan deret Taylor:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + …$
$e^{-x} = 1 – x + \frac{x^2}{2!} – \frac{x^3}{3!} + …$
Sehingga:
$e^x – e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + …) – (1 – x + \frac{x^2}{2!} – \frac{x^3}{3!} + …)$
$= 2x + 2\frac{x^3}{3!} + …$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – e^{-x}}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x + 2\frac{x^3}{3!} + …}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \left(1 + \frac{x^2}{3!} + …\right) = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – e^{-x}}{2x} = 1$.
Soal 54
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan deret Taylor untuk $e^x$:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + …$
Sehingga:
$e^x – 1 – x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + … – 1 – x = \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + …$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + …}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{2!} + \frac{x}{3!} + \frac{x^2}{4!} + …\right) = \frac{1}{2}$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Soal 55
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x) – \ln(1-x)}{x}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma:
$\ln(1+2x) – \ln(1-x) = \ln\left(\frac{1+2x}{1-x}\right)$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x) – \ln(1-x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln\left(\frac{1+2x}{1-x}\right)}{x}$
Kita hitung dulu nilai dari $\frac{1+2x}{1-x}$:
$\frac{1+2x}{1-x} = \frac{1+2x}{1-x} = \frac{1+2x}{1-x} = \frac{1+2x+x-x}{1-x} = \frac{1+3x}{1-x}$
Sekarang kita gunakan deret Taylor untuk $\ln(1+t)$ dengan $t = \frac{3x}{1-x}$:
$\ln\left(\frac{1+3x}{1-x}\right) = \ln(1+0) + \ln\left(1+\frac{3x}{1-x}\right) = \ln\left(1+\frac{3x}{1-x}\right)$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{3x}{1-x}\right)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{3x}{1-x} – \frac{1}{2}\left(\frac{3x}{1-x}\right)^2 + …}{x}$
Untuk $x \to 0$, $\frac{3x}{1-x} \approx 3x$ dan $\left(\frac{3x}{1-x}\right)^2 \approx 9x^2$. Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{3x}{1-x}\right)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x – \frac{9x^2}{2} + …}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \left(3 – \frac{9x}{2} + …\right) = 3$
Cara lain, kita bisa menggunakan aturan L’Hôpital:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x) – \ln(1-x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{d}{dx}[\ln(1+2x) – \ln(1-x)]$
$= \lim\limits_{x \to 0} \left[\frac{2}{1+2x} + \frac{1}{1-x}\right] = \frac{2}{1} + \frac{1}{1} = 3$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x) – \ln(1-x)}{x} = 3$.
Soal 56
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \ln(1+x)\right)^x$.
Pembahasan:
Kita akan menghitung limit dari logaritma natural dari ekspresi tersebut:
$\ln\left[\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \ln(1+x)\right)^x\right] = \lim\limits_{x \to 0} x \ln\left(\frac{1}{x} \ln(1+x)\right)$
$= \lim\limits_{x \to 0} x \ln\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)$
Kita tahu bahwa $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. Namun, kita perlu lebih presisi.
Dari deret Taylor, $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – …$
Sehingga:
$\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – …$
Dan $\ln\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right) = \ln\left(1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – …\right) = \ln(1) + \ln\left(1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} – …\right)$
$\approx \ln(1) + \left(- \frac{x}{2} + O(x^2)\right) = -\frac{x}{2} + O(x^2)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} x \ln\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right) = \lim\limits_{x \to 0} x \left(-\frac{x}{2} + O(x^2)\right) = \lim\limits_{x \to 0} \left(-\frac{x^2}{2} + O(x^3)\right) = 0$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \ln(1+x)\right)^x = e^0 = 1$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \ln(1+x)\right)^x = 1$.
Soal 57
Hitunglah $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x}$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$.
Dengan menggunakan sifat eksponen, kita dapat menulis:
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \lim\limits_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^2 = \left[\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^2 = e^2$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = e^2$.
Soal 58
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax) – \ln(1+bx)}{x}$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma:
$\ln(1+ax) – \ln(1+bx) = \ln\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax) – \ln(1+bx)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)}{x}$
Kita bisa menggunakan aturan L’Hôpital:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{d}{dx}\left[\ln\left(\frac{1+ax}{1+bx}\right)\right]$
$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{d}{dx}\left[\ln(1+ax) – \ln(1+bx)\right]$
$= \lim\limits_{x \to 0} \left[\frac{a}{1+ax} – \frac{b}{1+bx}\right]$
$= \frac{a}{1+a \cdot 0} – \frac{b}{1+b \cdot 0} = a – b$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax) – \ln(1+bx)}{x} = a – b$.
Soal 59
Hitunglah $\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x}$ untuk $a > 0$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa $a^x = e^{x \ln a}$. Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} – 1}{x}$
Kita ganti $t = x \ln a$ sehingga saat $x \to 0$, $t \to 0$. Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} – 1}{x} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{e^t – 1}{t} \cdot \ln a = \ln a \cdot \lim\limits_{t \to 0} \frac{e^t – 1}{t} = \ln a \cdot 1 = \ln a$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} = \ln a$.
Soal 60
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + \sin x\right)^{\frac{1}{x}}$.
Pembahasan:
Kita akan menghitung limit dari logaritma natural dari ekspresi tersebut:
$\ln\left[\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + \sin x\right)^{\frac{1}{x}}\right] = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + \sin x)$
Kita tahu bahwa $\sin x \approx x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ untuk $x \to 0$.
Juga, $\ln(1 + t) \approx t – \frac{t^2}{2} + O(t^3)$ untuk $t \to 0$.
Sehingga:
$\ln(1 + \sin x) \approx \sin x – \frac{(\sin x)^2}{2} + O((\sin x)^3)$
$\approx (x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)) – \frac{(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5))^2}{2} + O(x^3)$
$\approx x – \frac{x^3}{6} – \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
$\approx x – \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
Maka:
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + \sin x) \approx \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}(x – \frac{x^2}{2} + O(x^3)) = \lim\limits_{x \to 0} (1 – \frac{x}{2} + O(x^2)) = 1$
Sehingga:
$\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + \sin x\right)^{\frac{1}{x}} = e^1 = e$
Jadi, nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + \sin x\right)^{\frac{1}{x}} = e$.
Pingback: Materi Limit Fungsi: Pengertian, Rumus & Contoh Soal Lengkap - Pintar MTK