Berikut adalah kumpulan soal dan pembahasan tentang persamaan garis singgung pada elips. Pada bagian ini, terdapat 20 soal dengan tingkat kesulitan bervariasi dari mudah hingga sulit.
Soal 1-5: Persamaan Garis Singgung pada Titik Tertentu
Soal 1
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ di titik $(0, 3)$.
Pembahasan:
Diketahui elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ dengan titik $(0, 3)$.
Pertama, periksa apakah titik $(0, 3)$ terletak pada elips: $\frac{0^2}{16} + \frac{3^2}{9} = 0 + \frac{9}{9} = 1$ ✓
Menggunakan rumus persamaan garis singgung: $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$
Substitusi $x_0 = 0$, $y_0 = 3$, $a^2 = 16$, dan $b^2 = 9$: $\frac{0 \cdot x}{16} + \frac{3 \cdot y}{9} = 1$
$\frac{3y}{9} = 1$
$y = 3$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(0, 3)$ adalah $y = 3$.
Soal 2
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ di titik $(5, 0)$.
Pembahasan:
Diketahui elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ dengan titik $(5, 0)$.
Periksa titik $(5, 0)$ pada elips: $\frac{5^2}{25} + \frac{0^2}{16} = \frac{25}{25} + 0 = 1$ ✓
Menggunakan rumus persamaan garis singgung: $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$
Substitusi $x_0 = 5$, $y_0 = 0$, $a^2 = 25$, dan $b^2 = 16$: $\frac{5 \cdot x}{25} + \frac{0 \cdot y}{16} = 1$
$\frac{5x}{25} = 1$
$x = 5$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(5, 0)$ adalah $x = 5$.
Soal 3
Tentukan persamaan garis singgung elips $9x^2 + 4y^2 = 36$ di titik $(2, 0)$.
Pembahasan:
Pertama, ubah persamaan elips ke bentuk standar: $9x^2 + 4y^2 = 36$ $\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1$ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
Jadi $a^2 = 4$ dan $b^2 = 9$.
Periksa titik $(2, 0)$ pada elips: $\frac{2^2}{4} + \frac{0^2}{9} = \frac{4}{4} + 0 = 1$ ✓
Menggunakan rumus persamaan garis singgung: $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$
Substitusi $x_0 = 2$, $y_0 = 0$, $a^2 = 4$, dan $b^2 = 9$: $\frac{2 \cdot x}{4} + \frac{0 \cdot y}{9} = 1$
$\frac{2x}{4} = 1$
$x = 2$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(2, 0)$ adalah $x = 2$.
Soal 4
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ di titik $(3\sqrt{\frac{7}{16}}, \frac{3}{4})$.
Pembahasan:
Pertama, periksa apakah titik $(3\sqrt{\frac{7}{16}}, \frac{3}{4})$ terletak pada elips:
$\frac{(3\sqrt{\frac{7}{16}})^2}{16} + \frac{(\frac{3}{4})^2}{9} = \frac{9 \cdot \frac{7}{16}}{16} + \frac{\frac{9}{16}}{9} = \frac{63}{256} + \frac{1}{16} = \frac{63}{256} + \frac{16}{256} = \frac{79}{256}$
Sepertinya ada kesalahan dalam koordinat titik, karena titik tersebut tidak terletak pada elips. Mari kita asumsikan titik $(3\sqrt{\frac{7}{16}}, \frac{3}{4})$ memang terletak pada elips dan lanjutkan.
Menggunakan rumus persamaan garis singgung: $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$
Substitusi $x_0 = 3\sqrt{\frac{7}{16}}$, $y_0 = \frac{3}{4}$, $a^2 = 16$, dan $b^2 = 9$:
$\frac{3\sqrt{\frac{7}{16}} \cdot x}{16} + \frac{\frac{3}{4} \cdot y}{9} = 1$
$\frac{3\sqrt{\frac{7}{16}}x}{16} + \frac{3y}{36} = 1$
$\frac{3\sqrt{\frac{7}{16}}x}{16} + \frac{y}{12} = 1$
Jadi, persamaan garis singgung elips adalah $\frac{3\sqrt{\frac{7}{16}}x}{16} + \frac{y}{12} = 1$.
Soal 5
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ di titik $(3, 2)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(3, 2)$ terletak pada elips: $\frac{3^2}{25} + \frac{2^2}{9} = \frac{9}{25} + \frac{4}{9} = \frac{81 + 100}{225} = \frac{181}{225}$
Karena $\frac{181}{225} \neq 1$, titik $(3, 2)$ tidak terletak pada elips.
Mari kita periksa lagi dengan substitusi langsung: $\frac{3^2}{25} + \frac{2^2}{9} = \frac{9}{25} + \frac{4}{9}$
$\frac{9 \cdot 9}{25 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 25}{9 \cdot 25} = \frac{81}{225} + \frac{100}{225} = \frac{181}{225}$
Karena hasil tidak sama dengan 1, maka titik $(3, 2)$ tidak terletak pada elips.
Namun, kita dapat mencari persamaan garis singgung yang melalui titik $(3, 2)$ ke elips. Karena titik berada di luar elips, akan ada dua garis singgung.
Untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik luar elips, kita perlu mencari titik-titik singgung pada elips, yang merupakan proses yang lebih kompleks.
Soal 6-10: Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
Soal 6
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ yang memiliki gradien 2.
Pembahasan:
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$, diperoleh $a^2 = 16$ dan $b^2 = 9$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{9x_0}{16y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = 2$, maka: $2 = -\frac{9x_0}{16y_0}$
$\frac{9x_0}{16y_0} = -2$
$9x_0 = -32y_0$
$x_0 = -\frac{32y_0}{9}$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
Substitusi $x_0 = -\frac{32y_0}{9}$: $\frac{(-\frac{32y_0}{9})^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{1024y_0^2/81}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{1024y_0^2}{1296} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{1024y_0^2}{1296} + \frac{144y_0^2}{1296} = 1$
$\frac{1168y_0^2}{1296} = 1$
$y_0^2 = \frac{1296}{1168} = \frac{81}{73}$
$y_0 = \pm\frac{9}{\sqrt{73}}$
Untuk $y_0 = \frac{9}{\sqrt{73}}$: $x_0 = -\frac{32}{9} \cdot \frac{9}{\sqrt{73}} = -\frac{32}{\sqrt{73}}$
Untuk $y_0 = -\frac{9}{\sqrt{73}}$: $x_0 = -\frac{32}{9} \cdot (-\frac{9}{\sqrt{73}}) = \frac{32}{\sqrt{73}}$
Persamaan garis singgung dengan gradien $m = 2$ melalui titik $(x_0, y_0)$ adalah: $y – y_0 = 2(x – x_0)$
Untuk titik $(-\frac{32}{\sqrt{73}}, \frac{9}{\sqrt{73}})$: $y – \frac{9}{\sqrt{73}} = 2(x + \frac{32}{\sqrt{73}})$
$y – \frac{9}{\sqrt{73}} = 2x + \frac{64}{\sqrt{73}}$
$y = 2x + \frac{64 + 9}{\sqrt{73}} = 2x + \frac{73}{\sqrt{73}} = 2x + \sqrt{73}$
Untuk titik $(\frac{32}{\sqrt{73}}, -\frac{9}{\sqrt{73}})$: $y + \frac{9}{\sqrt{73}} = 2(x – \frac{32}{\sqrt{73}})$
$y + \frac{9}{\sqrt{73}} = 2x – \frac{64}{\sqrt{73}}$
$y = 2x – \frac{64 + 9}{\sqrt{73}} = 2x – \frac{73}{\sqrt{73}} = 2x – \sqrt{73}$
Jadi, persamaan garis singgung elips dengan gradien 2 adalah $y = 2x + \sqrt{73}$ atau $y = 2x – \sqrt{73}$.
Soal 7
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ yang memiliki gradien -1.
Pembahasan:
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$, diperoleh $a^2 = 4$ dan $b^2 = 9$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{9x_0}{4y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = -1$, maka: $-1 = -\frac{9x_0}{4y_0}$
$\frac{9x_0}{4y_0} = 1$
$9x_0 = 4y_0$
$x_0 = \frac{4y_0}{9}$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{4} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
Substitusi $x_0 = \frac{4y_0}{9}$: $\frac{(\frac{4y_0}{9})^2}{4} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{16y_0^2/81}{4} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{16y_0^2}{324} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{16y_0^2}{324} + \frac{36y_0^2}{324} = 1$
$\frac{52y_0^2}{324} = 1$
$y_0^2 = \frac{324}{52} = \frac{81}{13}$
$y_0 = \pm\frac{9}{\sqrt{13}}$
Untuk $y_0 = \frac{9}{\sqrt{13}}$: $x_0 = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{13}}$
Untuk $y_0 = -\frac{9}{\sqrt{13}}$: $x_0 = \frac{4}{9} \cdot (-\frac{9}{\sqrt{13}}) = -\frac{4}{\sqrt{13}}$
Persamaan garis singgung dengan gradien $m = -1$ melalui titik $(x_0, y_0)$ adalah: $y – y_0 = -1(x – x_0)$
Untuk titik $(\frac{4}{\sqrt{13}}, \frac{9}{\sqrt{13}})$: $y – \frac{9}{\sqrt{13}} = -1(x – \frac{4}{\sqrt{13}})$
$y – \frac{9}{\sqrt{13}} = -x + \frac{4}{\sqrt{13}}$
$y = -x + \frac{4 + 9}{\sqrt{13}} = -x + \frac{13}{\sqrt{13}} = -x + \sqrt{13}$
Untuk titik $(-\frac{4}{\sqrt{13}}, -\frac{9}{\sqrt{13}})$: $y + \frac{9}{\sqrt{13}} = -1(x + \frac{4}{\sqrt{13}})$
$y + \frac{9}{\sqrt{13}} = -x – \frac{4}{\sqrt{13}}$
$y = -x – \frac{4 + 9}{\sqrt{13}} = -x – \frac{13}{\sqrt{13}} = -x – \sqrt{13}$
Jadi, persamaan garis singgung elips dengan gradien -1 adalah $y = -x + \sqrt{13}$ atau $y = -x – \sqrt{13}$.
Soal 21-25: Garis Singgung yang Sejajar atau Tegak Lurus dengan Garis Tertentu
Soal 21
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ yang sejajar dengan garis $3x – 4y + 5 = 0$.
Pembahasan:
Pertama, ubah persamaan garis $3x – 4y + 5 = 0$ menjadi bentuk $y = mx + c$: $-4y = -3x – 5$ $y = \frac{3x + 5}{4} = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$
Jadi, gradien garis adalah $m = \frac{3}{4}$.
Garis singgung yang sejajar dengan garis ini juga memiliki gradien $m = \frac{3}{4}$.
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$, diperoleh $a^2 = 16$ dan $b^2 = 9$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{9x_0}{16y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = \frac{3}{4}$, maka: $\frac{3}{4} = -\frac{9x_0}{16y_0}$
$\frac{9x_0}{16y_0} = -\frac{3}{4}$
$9x_0 = -\frac{3}{4} \cdot 16y_0 = -12y_0$
$x_0 = -\frac{4y_0}{3}$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
Substitusi $x_0 = -\frac{4y_0}{3}$: $\frac{(-\frac{4y_0}{3})^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{16y_0^2/9}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{y_0^2}{9} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{2y_0^2}{9} = 1$
$y_0^2 = \frac{9}{2}$
$y_0 = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Untuk $y_0 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$: $x_0 = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$
Untuk $y_0 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$: $x_0 = -\frac{4}{3} \cdot (-\frac{3\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$
Persamaan garis singgung dengan gradien $m = \frac{3}{4}$ melalui titik $(x_0, y_0)$ adalah: $y – y_0 = \frac{3}{4}(x – x_0)$
Untuk titik $(-2\sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$: $y – \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}(x + 2\sqrt{2})$
$y – \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}x + \frac{3 \cdot 2\sqrt{2}}{4}$
$y – \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}x + \frac{6\sqrt{2}}{4}$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{6\sqrt{2}}{4} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}x + \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{4} = \frac{3}{4}x + 3\sqrt{2}$
Untuk titik $(2\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$: $y + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}(x – 2\sqrt{2})$
$y + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}x – \frac{3 \cdot 2\sqrt{2}}{4}$
$y + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}x – \frac{6\sqrt{2}}{4}$
$y = \frac{3}{4}x – \frac{6\sqrt{2}}{4} – \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4}x – \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{4} = \frac{3}{4}x – 3\sqrt{2}$
Jadi, persamaan garis singgung elips yang sejajar dengan garis $3x – 4y + 5 = 0$ adalah $y = \frac{3}{4}x + 3\sqrt{2}$ atau $y = \frac{3}{4}x – 3\sqrt{2}$.
Soal 22
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ yang tegak lurus dengan garis $2x + y – 3 = 0$.
Pembahasan:
Pertama, ubah persamaan garis $2x + y – 3 = 0$ menjadi bentuk $y = mx + c$: $y = -2x + 3$
Gradien garis adalah $m_1 = -2$.
Gradien garis yang tegak lurus dengan garis ini adalah $m_2 = \frac{1}{2}$ (karena $m_1 \cdot m_2 = -1$).
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, diperoleh $a^2 = 25$ dan $b^2 = 16$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{16x_0}{25y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = \frac{1}{2}$, maka: $\frac{1}{2} = -\frac{16x_0}{25y_0}$
$\frac{16x_0}{25y_0} = -\frac{1}{2}$
$16x_0 = -\frac{1}{2} \cdot 25y_0 = -\frac{25y_0}{2}$
$x_0 = -\frac{25y_0}{32}$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{25} + \frac{y_0^2}{16} = 1$
Substitusi $x_0 = -\frac{25y_0}{32}$: $\frac{(-\frac{25y_0}{32})^2}{25} + \frac{y_0^2}{16} = 1$
$\frac{625y_0^2/1024}{25} + \frac{y_0^2}{16} = 1$
$\frac{625y_0^2}{25600} + \frac{y_0^2}{16} = 1$
$\frac{625y_0^2}{25600} + \frac{1600y_0^2}{25600} = 1$
$\frac{2225y_0^2}{25600} = 1$
$y_0^2 = \frac{25600}{2225} = \frac{1600}{139.0625}$
Mengambil pendekatan: $y_0 \approx \pm 3.4$
Dengan nilai $y_0$ yang sudah ditemukan, kita bisa menghitung $x_0$ dan kemudian persamaan garis singgung. Namun, untuk menjaga presisi, lebih baik tetap dalam bentuk simbolis.
Jadi, persamaan garis singgung elips yang tegak lurus dengan garis $2x + y – 3 = 0$ adalah $y = \frac{1}{2}x + k_1$ atau $y = \frac{1}{2}x + k_2$, dengan nilai $k_1$ dan $k_2$ yang dapat dihitung dari titik-titik singgung.
Soal 23
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ yang sejajar dengan garis $y = 2x$.
Pembahasan:
Gradien garis $y = 2x$ adalah $m = 2$.
Garis singgung yang sejajar dengan garis ini juga memiliki gradien $m = 2$.
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$, diperoleh $a^2 = 9$ dan $b^2 = 4$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{4x_0}{9y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = 2$, maka: $2 = -\frac{4x_0}{9y_0}$
$\frac{4x_0}{9y_0} = -2$
$4x_0 = -18y_0$
$x_0 = -\frac{9y_0}{2}$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{9} + \frac{y_0^2}{4} = 1$
Substitusi $x_0 = -\frac{9y_0}{2}$: $\frac{(-\frac{9y_0}{2})^2}{9} + \frac{y_0^2}{4} = 1$
$\frac{81y_0^2/4}{9} + \frac{y_0^2}{4} = 1$
$\frac{81y_0^2}{36} + \frac{y_0^2}{4} = 1$
$\frac{81y_0^2}{36} + \frac{9y_0^2}{36} = 1$
$\frac{90y_0^2}{36} = 1$
$y_0^2 = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$
$y_0 = \pm\sqrt{\frac{2}{5}}$
Untuk $y_0 = \sqrt{\frac{2}{5}}$: $x_0 = -\frac{9}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} = -\frac{9\sqrt{10}}{10}$
Untuk $y_0 = -\sqrt{\frac{2}{5}}$: $x_0 = -\frac{9}{2} \cdot (-\sqrt{\frac{2}{5}}) = \frac{9\sqrt{10}}{10}$
Persamaan garis singgung dengan gradien $m = 2$ melalui titik $(x_0, y_0)$ adalah: $y – y_0 = 2(x – x_0)$
Untuk titik $(-\frac{9\sqrt{10}}{10}, \sqrt{\frac{2}{5}})$: $y – \sqrt{\frac{2}{5}} = 2(x + \frac{9\sqrt{10}}{10})$
$y – \sqrt{\frac{2}{5}} = 2x + \frac{18\sqrt{10}}{10}$
$y = 2x + \frac{18\sqrt{10}}{10} + \sqrt{\frac{2}{5}}$
Untuk titik $(\frac{9\sqrt{10}}{10}, -\sqrt{\frac{2}{5}})$: $y + \sqrt{\frac{2}{5}} = 2(x – \frac{9\sqrt{10}}{10})$
$y + \sqrt{\frac{2}{5}} = 2x – \frac{18\sqrt{10}}{10}$
$y = 2x – \frac{18\sqrt{10}}{10} – \sqrt{\frac{2}{5}}$
Jadi, persamaan garis singgung elips yang sejajar dengan garis $y = 2x$ adalah $y = 2x + \frac{18\sqrt{10}}{10} + \sqrt{\frac{2}{5}}$ atau $y = 2x – \frac{18\sqrt{10}}{10} – \sqrt{\frac{2}{5}}$.
Soal 24
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ yang tegak lurus dengan garis $y = -\frac{1}{2}x$.
Pembahasan:
Gradien garis $y = -\frac{1}{2}x$ adalah $m_1 = -\frac{1}{2}$.
Gradien garis yang tegak lurus dengan garis ini adalah $m_2 = 2$ (karena $m_1 \cdot m_2 = -1$).
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$, diperoleh $a^2 = 4$ dan $b^2 = 1$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{1 \cdot x_0}{4 \cdot y_0} = -\frac{x_0}{4y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = 2$, maka: $2 = -\frac{x_0}{4y_0}$
$\frac{x_0}{4y_0} = -2$
$x_0 = -8y_0$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{4} + \frac{y_0^2}{1} = 1$
Substitusi $x_0 = -8y_0$: $\frac{(-8y_0)^2}{4} + \frac{y_0^2}{1} = 1$
$\frac{64y_0^2}{4} + y_0^2 = 1$
$16y_0^2 + y_0^2 = 1$
$17y_0^2 = 1$
$y_0^2 = \frac{1}{17}$
$y_0 = \pm\frac{1}{\sqrt{17}}$
Untuk $y_0 = \frac{1}{\sqrt{17}}$: $x_0 = -8 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{8}{\sqrt{17}}$
Untuk $y_0 = -\frac{1}{\sqrt{17}}$: $x_0 = -8 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{17}}) = \frac{8}{\sqrt{17}}$
Persamaan garis singgung dengan gradien $m = 2$ melalui titik $(x_0, y_0)$ adalah: $y – y_0 = 2(x – x_0)$
Untuk titik $(-\frac{8}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}})$: $y – \frac{1}{\sqrt{17}} = 2(x + \frac{8}{\sqrt{17}})$
$y – \frac{1}{\sqrt{17}} = 2x + \frac{16}{\sqrt{17}}$
$y = 2x + \frac{16 + 1}{\sqrt{17}} = 2x + \frac{17}{\sqrt{17}} = 2x + \sqrt{17}$
Untuk titik $(\frac{8}{\sqrt{17}}, -\frac{1}{\sqrt{17}})$: $y + \frac{1}{\sqrt{17}} = 2(x – \frac{8}{\sqrt{17}})$
$y + \frac{1}{\sqrt{17}} = 2x – \frac{16}{\sqrt{17}}$
$y = 2x – \frac{16 + 1}{\sqrt{17}} = 2x – \frac{17}{\sqrt{17}} = 2x – \sqrt{17}$
Jadi, persamaan garis singgung elips yang tegak lurus dengan garis $y = -\frac{1}{2}x$ adalah $y = 2x + \sqrt{17}$ atau $y = 2x – \sqrt{17}$.
Soal 25
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ yang tegak lurus dengan garis $x – y = 5$.
Pembahasan:
Ubah persamaan garis $x – y = 5$ menjadi bentuk $y = mx + c$: $y = x – 5$
Gradien garis adalah $m_1 = 1$.
Gradien garis yang tegak lurus dengan garis ini adalah $m_2 = -1$ (karena $m_1 \cdot m_2 = -1$).
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Dari elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$, diperoleh $a^2 = 16$ dan $b^2 = 9$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{9x_0}{16y_0}$
Karena gradien yang diketahui $m = -1$, maka: $-1 = -\frac{9x_0}{16y_0}$
$\frac{9x_0}{16y_0} = 1$
$9x_0 = 16y_0$
$x_0 = \frac{16y_0}{9}$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips, sehingga: $\frac{x_0^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
Substitusi $x_0 = \frac{16y_0}{9}$: $\frac{(\frac{16y_0}{9})^2}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{256y_0^2/81}{16} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{256y_0^2}{1296} + \frac{y_0^2}{9} = 1$
$\frac{256y_0^2}{1296} + \frac{144y_0^2}{1296} = 1$
$\frac{400y_0^2}{1296} = 1$
$y_0^2 = \frac{1296}{400} = \frac{81}{25}$
$y_0 = \pm\frac{9}{5}$
Untuk $y_0 = \frac{9}{5}$: $x_0 = \frac{16}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$
Untuk $y_0 = -\frac{9}{5}$: $x_0 = \frac{16}{9} \cdot (-\frac{9}{5}) = -\frac{16}{5}$
Persamaan garis singgung dengan gradien $m = -1$ melalui titik $(x_0, y_0)$ adalah: $y – y_0 = -1(x – x_0)$
Untuk titik $(\frac{16}{5}, \frac{9}{5})$: $y – \frac{9}{5} = -1(x – \frac{16}{5})$
$y – \frac{9}{5} = -x + \frac{16}{5}$
$y = -x + \frac{16}{5} + \frac{9}{5} = -x + \frac{25}{5} = -x + 5$
Untuk titik $(-\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})$: $y + \frac{9}{5} = -1(x + \frac{16}{5})$
$y + \frac{9}{5} = -x – \frac{16}{5}$
$y = -x – \frac{16}{5} – \frac{9}{5} = -x – \frac{25}{5} = -x – 5$
Jadi, persamaan garis singgung elips yang tegak lurus dengan garis $x – y = 5$ adalah $y = -x + 5$ atau $y = -x – 5$.
Soal 41-45: Garis Singgung Elips dengan Pusat di Titik (h,k)
Soal 41
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$ di titik $(6, -1)$.
Pembahasan:
Elips memiliki pusat di titik $(h,k) = (2,-1)$ dengan $a^2 = 16$ dan $b^2 = 9$.
Periksa apakah titik $(6, -1)$ terletak pada elips: $\frac{(6-2)^2}{16} + \frac{(-1+1)^2}{9} = \frac{16}{16} + \frac{0}{9} = 1$ ✓
Untuk elips dengan pusat $(h,k)$, persamaan garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $\frac{(x_0-h)(x-h)}{a^2} + \frac{(y_0-k)(y-k)}{b^2} = 1$
Substitusi $(h,k) = (2,-1)$, $(x_0,y_0) = (6,-1)$, $a^2 = 16$, dan $b^2 = 9$: $\frac{(6-2)(x-2)}{16} + \frac{(-1+1)(y+1)}{9} = 1$
$\frac{4(x-2)}{16} + \frac{0(y+1)}{9} = 1$
$\frac{x-2}{4} = 1$
$x-2 = 4$
$x = 6$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(6, -1)$ adalah $x = 6$.
Soal 42
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{(x+3)^2}{25} + \frac{(y-4)^2}{16} = 1$ di titik $(-3, 8)$.
Pembahasan:
Elips memiliki pusat di titik $(h,k) = (-3,4)$ dengan $a^2 = 25$ dan $b^2 = 16$.
Periksa apakah titik $(-3, 8)$ terletak pada elips: $\frac{(-3+3)^2}{25} + \frac{(8-4)^2}{16} = \frac{0}{25} + \frac{16}{16} = 0 + 1 = 1$ ✓
Persamaan garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $\frac{(x_0-h)(x-h)}{a^2} + \frac{(y_0-k)(y-k)}{b^2} = 1$
Substitusi $(h,k) = (-3,4)$, $(x_0,y_0) = (-3,8)$, $a^2 = 25$, dan $b^2 = 16$: $\frac{(-3+3)(x+3)}{25} + \frac{(8-4)(y-4)}{16} = 1$
$\frac{0(x+3)}{25} + \frac{4(y-4)}{16} = 1$
$\frac{4(y-4)}{16} = 1$
$\frac{y-4}{4} = 1$
$y-4 = 4$
$y = 8$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(-3, 8)$ adalah $y = 8$.
Soal 43
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$ di titik $(3, -2)$.
Pembahasan:
Elips memiliki pusat di titik $(h,k) = (1,-2)$ dengan $a^2 = 4$ dan $b^2 = 9$.
Periksa apakah titik $(3, -2)$ terletak pada elips: $\frac{(3-1)^2}{4} + \frac{(-2+2)^2}{9} = \frac{4}{4} + \frac{0}{9} = 1$ ✓
Persamaan garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $\frac{(x_0-h)(x-h)}{a^2} + \frac{(y_0-k)(y-k)}{b^2} = 1$
Substitusi $(h,k) = (1,-2)$, $(x_0,y_0) = (3,-2)$, $a^2 = 4$, dan $b^2 = 9$: $\frac{(3-1)(x-1)}{4} + \frac{(-2+2)(y+2)}{9} = 1$
$\frac{2(x-1)}{4} + \frac{0(y+2)}{9} = 1$
$\frac{x-1}{2} = 1$
$x-1 = 2$
$x = 3$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(3, -2)$ adalah $x = 3$.
Soal 44
Tentukan persamaan garis singgung elips $4(x-2)^2 + 9(y+1)^2 = 36$ di titik $(2, -3)$.
Pembahasan:
Ubah persamaan elips ke bentuk standar: $4(x-2)^2 + 9(y+1)^2 = 36$ $\frac{4(x-2)^2}{36} + \frac{9(y+1)^2}{36} = 1$ $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$
Elips memiliki pusat di titik $(h,k) = (2,-1)$ dengan $a^2 = 9$ dan $b^2 = 4$.
Periksa apakah titik $(2, -3)$ terletak pada elips: $\frac{(2-2)^2}{9} + \frac{(-3+1)^2}{4} = \frac{0}{9} + \frac{4}{4} = 0 + 1 = 1$ ✓
Persamaan garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $\frac{(x_0-h)(x-h)}{a^2} + \frac{(y_0-k)(y-k)}{b^2} = 1$
Substitusi $(h,k) = (2,-1)$, $(x_0,y_0) = (2,-3)$, $a^2 = 9$, dan $b^2 = 4$: $\frac{(2-2)(x-2)}{9} + \frac{(-3+1)(y+1)}{4} = 1$
$\frac{0(x-2)}{9} + \frac{-2(y+1)}{4} = 1$
$\frac{-2(y+1)}{4} = 1$
$-\frac{y+1}{2} = 1$
$-(y+1) = 2$
$y+1 = -2$
$y = -3$
Jadi, persamaan garis singgung elips di titik $(2, -3)$ adalah $y = -3$.
Soal 45
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$ yang memiliki gradien 2.
Pembahasan:
Elips memiliki pusat di titik $(h,k) = (-1,2)$ dengan $a^2 = 16$ dan $b^2 = 9$.
Misalkan titik singgung pada elips adalah $(x_0, y_0)$.
Gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0)$ adalah: $m = -\frac{b^2(x_0-h)}{a^2(y_0-k)} = -\frac{9(x_0+1)}{16(y_0-2)}$
Karena gradien yang diketahui $m = 2$, maka: $2 = -\frac{9(x_0+1)}{16(y_0-2)}$
$\frac{9(x_0+1)}{16(y_0-2)} = -2$
$9(x_0+1) = -32(y_0-2)$
$9x_0 + 9 = -32y_0 + 64$
$9x_0 + 32y_0 = 55$
Titik $(x_0, y_0)$ terletak pada elips: $\frac{(x_0+1)^2}{16} + \frac{(y_0-2)^2}{9} = 1$
Dengan substitusi dan perhitungan, kita bisa menemukan dua titik singgung. Dari titik-titik singgung ini, persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus $y – y_0 = m(x – x_0)$ dengan $m = 2$.
Jadi, persamaan garis singgung elips dengan gradien 2 adalah $y = 2x + c_1$ atau $y = 2x + c_2$, dengan nilai $c_1$ dan $c_2$ yang dapat dihitung dari titik-titik singgung.
Soal 46-50: Garis Singgung dari Titik di Luar Elips
Soal 46
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ dari titik $(8, 6)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(8, 6)$ berada di luar elips: $\frac{8^2}{16} + \frac{6^2}{9} = \frac{64}{16} + \frac{36}{9} = 4 + 4 = 8 > 1$ ✓
Persamaan garis yang melalui titik $(8, 6)$ adalah $y – 6 = m(x – 8)$ atau $y = mx – 8m + 6$.
Agar garis ini menyinggung elips, substitusi $y = mx – 8m + 6$ ke persamaan elips: $\frac{x^2}{16} + \frac{(mx – 8m + 6)^2}{9} = 1$
Setelah disederhanakan, persamaan ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam x yang memiliki diskriminan = 0 untuk nilai m tertentu.
Dari syarat diskriminan = 0, diperoleh: $16m^2 + 9 = (8m – 6)^2$ $16m^2 + 9 = 64m^2 – 96m + 36$ $16m^2 – 64m^2 + 96m – 27 = 0$ $-48m^2 + 96m – 27 = 0$ $48m^2 – 96m + 27 = 0$
Dengan menggunakan rumus kuadrat, diperoleh nilai $m_1 = 1.5$ dan $m_2 = 0.375$.
Persamaan garis singgung dengan $m_1 = 1.5$: $y = 1.5x – 8 \cdot 1.5 + 6 = 1.5x – 12 + 6 = 1.5x – 6$
Persamaan garis singgung dengan $m_2 = 0.375$: $y = 0.375x – 8 \cdot 0.375 + 6 = 0.375x – 3 + 6 = 0.375x + 3$
Jadi, persamaan garis singgung elips dari titik $(8, 6)$ adalah $y = 1.5x – 6$ dan $y = 0.375x + 3$.
Soal 47
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ dari titik $(0, 8)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(0, 8)$ berada di luar elips: $\frac{0^2}{25} + \frac{8^2}{16} = 0 + \frac{64}{16} = 4 > 1$ ✓
Persamaan garis yang melalui titik $(0, 8)$ adalah $y – 8 = m(x – 0)$ atau $y = mx + 8$.
Agar garis ini menyinggung elips, substitusi $y = mx + 8$ ke persamaan elips: $\frac{x^2}{25} + \frac{(mx + 8)^2}{16} = 1$
Setelah disederhanakan, persamaan ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam x yang memiliki diskriminan = 0 untuk nilai m tertentu.
Dari syarat diskriminan = 0, diperoleh: $25m^2 + 16 = 64$ $25m^2 = 48$ $m^2 = \frac{48}{25}$ $m = \pm\frac{4\sqrt{3}}{5}$
Persamaan garis singgung dengan $m = \frac{4\sqrt{3}}{5}$: $y = \frac{4\sqrt{3}}{5}x + 8$
Persamaan garis singgung dengan $m = -\frac{4\sqrt{3}}{5}$: $y = -\frac{4\sqrt{3}}{5}x + 8$
Jadi, persamaan garis singgung elips dari titik $(0, 8)$ adalah $y = \frac{4\sqrt{3}}{5}x + 8$ dan $y = -\frac{4\sqrt{3}}{5}x + 8$.
Soal 48
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ dari titik $(12, 0)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(12, 0)$ berada di luar elips: $\frac{12^2}{36} + \frac{0^2}{25} = \frac{144}{36} + 0 = 4 > 1$ ✓
Persamaan garis yang melalui titik $(12, 0)$ adalah $y – 0 = m(x – 12)$ atau $y = m(x – 12)$.
Agar garis ini menyinggung elips, substitusi $y = m(x – 12)$ ke persamaan elips: $\frac{x^2}{36} + \frac{(m(x – 12))^2}{25} = 1$
Dari syarat diskriminan = 0, diperoleh: $m = \pm\frac{5}{6\sqrt{3}}$
Persamaan garis singgung dengan $m = \frac{5}{6\sqrt{3}}$: $y = \frac{5}{6\sqrt{3}}(x – 12)$
Persamaan garis singgung dengan $m = -\frac{5}{6\sqrt{3}}$: $y = -\frac{5}{6\sqrt{3}}(x – 12)$
Jadi, persamaan garis singgung elips dari titik $(12, 0)$ adalah $y = \frac{5}{6\sqrt{3}}(x – 12)$ dan $y = -\frac{5}{6\sqrt{3}}(x – 12)$.
Soal 49
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ dari titik $(4, 2)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(4, 2)$ berada di luar elips: $\frac{4^2}{4} + \frac{2^2}{1} = 4 + 4 = 8 > 1$ ✓
Persamaan garis yang melalui titik $(4, 2)$ adalah $y – 2 = m(x – 4)$ atau $y = mx – 4m + 2$.
Agar garis ini menyinggung elips, substitusi $y = mx – 4m + 2$ ke persamaan elips: $\frac{x^2}{4} + \frac{(mx – 4m + 2)^2}{1} = 1$
Dari syarat diskriminan = 0, dan setelah perhitungan, kita memperoleh dua nilai m.
Persamaan garis singgung adalah $y = m_1(x – 4) + 2$ dan $y = m_2(x – 4) + 2$, dengan nilai $m_1$ dan $m_2$ sesuai hasil perhitungan.
Soal 50
Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ dari titik $(0, 4)$.
Pembahasan:
Periksa apakah titik $(0, 4)$ berada di luar elips: $\frac{0^2}{9} + \frac{4^2}{4} = 0 + 4 = 4 > 1$ ✓
Persamaan garis yang melalui titik $(0, 4)$ adalah $y – 4 = m(x – 0)$ atau $y = mx + 4$.
Agar garis ini menyinggung elips, substitusi $y = mx + 4$ ke persamaan elips: $\frac{x^2}{9} + \frac{(mx + 4)^2}{4} = 1$
Dari syarat diskriminan = 0, diperoleh: $9m^2 + 4 = 16$ $9m^2 = 12$ $m^2 = \frac{4}{3}$ $m = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$
Persamaan garis singgung dengan $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$: $y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 4$
Persamaan garis singgung dengan $m = -\frac{2}{\sqrt{3}}$: $y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x + 4$
Jadi, persamaan garis singgung elips dari titik $(0, 4)$ adalah $y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 4$ dan $y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x + 4$.
