1. Pengertian Turunan Fungsi
Turunan fungsi merupakan salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang mempelajari tentang laju perubahan suatu fungsi. Secara intuitif, turunan fungsi di suatu titik menggambarkan kemiringan garis singgung kurva fungsi di titik tersebut.
Definisi: Turunan fungsi $f(x)$ di titik $x = a$, dinotasikan dengan $f'(a)$ atau $\frac{df}{dx}|_{x=a}$, didefinisikan sebagai:
Jika limit tersebut ada (berhingga), maka fungsi $f(x)$ dikatakan terdiferensialkan (memiliki turunan) di titik $x = a$.
Kita juga dapat mendefinisikan turunan menggunakan notasi limit:
Catatan: Interpretasi geometris dari turunan fungsi $f(x)$ pada titik $x = a$ adalah kemiringan (gradien) garis singgung pada grafik $y = f(x)$ di titik $(a, f(a))$.
2. Aturan-aturan Dasar Turunan
Berikut adalah beberapa aturan dasar untuk mencari turunan fungsi:
2.1. Turunan Fungsi Konstan
Contoh: Jika $f(x) = 5$, maka $f'(x) = 0$
2.2. Turunan Fungsi Identitas
Contoh: Jika $f(x) = x$, maka $f'(x) = 1$
2.3. Turunan Fungsi Pangkat
Contoh:
1. Jika $f(x) = x^2$, maka $f'(x) = 2x$
2. Jika $f(x) = x^3$, maka $f'(x) = 3x^2$
3. Jika $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$, maka $f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
4. Jika $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, maka $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
2.4. Aturan Perkalian dengan Konstanta
Contoh: Jika $f(x) = 3x^2$, maka $f'(x) = 3 \cdot (2x) = 6x$
2.5. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan
Contoh: Jika $f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 1$, maka:
$f'(x) = 3x^2 + 4x – 5$
2.6. Aturan Perkalian (Product Rule)
Contoh: Jika $f(x) = x^2 \cdot (3x + 1)$, maka:
$f'(x) = 2x \cdot (3x + 1) + x^2 \cdot 3$
$f'(x) = 6x^2 + 2x + 3x^2$
$f'(x) = 9x^2 + 2x$
2.7. Aturan Pembagian (Quotient Rule)
Contoh: Jika $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$, maka:
$f'(x) = \frac{2x \cdot (x+1) – x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2}$
$f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$
3. Aplikasi Turunan Fungsi
3.1. Menentukan Kemiringan Garis Singgung
Salah satu aplikasi langsung dari turunan fungsi adalah untuk menentukan kemiringan garis singgung pada kurva di titik tertentu.
Contoh: Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva $y = x^2 + 2x – 3$ di titik $(2, 5)$.
Penyelesaian:
Turunan dari fungsi $f(x) = x^2 + 2x – 3$ adalah $f'(x) = 2x + 2$
Pada titik $x = 2$: $f'(2) = 2(2) + 2 = 6$
Jadi, kemiringan garis singgung pada kurva $y = x^2 + 2x – 3$ di titik $(2, 5)$ adalah 6.
3.2. Menentukan Persamaan Garis Singgung
Dengan mengetahui kemiringan garis singgung, kita dapat menentukan persamaan garis singgung tersebut.
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $y = x^3 – 3x + 1$ di titik $(1, -1)$.
Penyelesaian:
Turunan dari fungsi $f(x) = x^3 – 3x + 1$ adalah $f'(x) = 3x^2 – 3$
Pada titik $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 – 3 = 3 – 3 = 0$
Karena $m = 0$, garis singgung horizontal. Persamaan garis singgung adalah:
$y – y_1 = m(x – x_1)$
$y – (-1) = 0(x – 1)$
$y + 1 = 0$
$y = -1$
4. Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Soal: Tentukan turunan dari fungsi $f(x) = 2x^3 – 4x^2 + 5x – 7$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan turunan fungsi polinomial:
$f'(x) = 6x^2 – 8x + 5$
Soal 2
Soal: Tentukan turunan dari fungsi $g(x) = (2x+1)(x^2-3)$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan perkalian:
$g'(x) = (2)(x^2-3) + (2x+1)(2x)$
$g'(x) = 2x^2 – 6 + 4x^2 + 2x$
$g'(x) = 6x^2 + 2x – 6$
Soal 3
Soal: Tentukan turunan dari fungsi $h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 2}$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan pembagian:
$h'(x) = \frac{(2x)(x-2) – (x^2+1)(1)}{(x-2)^2}$
$h'(x) = \frac{2x^2 – 4x – x^2 – 1}{(x-2)^2}$
$h'(x) = \frac{x^2 – 4x – 1}{(x-2)^2}$
5. Turunan Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi khusus yang berkaitan dengan sudut dan perbandingan sisi dalam segitiga. Berikut adalah aturan turunan dari beberapa fungsi trigonometri dasar:
5.1. Turunan Fungsi Sinus
Contoh: Jika $f(x) = 3\sin x$, maka $f'(x) = 3\cos x$
5.2. Turunan Fungsi Cosinus
Contoh: Jika $f(x) = 2\cos x$, maka $f'(x) = -2\sin x$
5.3. Turunan Fungsi Tangen
Contoh: Jika $f(x) = \tan x$, maka $f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
5.4. Turunan Fungsi Cotangen
5.5. Turunan Fungsi Secan
5.6. Turunan Fungsi Cosecan
Catatan: Ketika kita bekerja dengan sudut dalam derajat, kita perlu mengubahnya ke radian terlebih dahulu, atau menyesuaikan rumus turunan dengan faktor konversi $\frac{\pi}{180}$.
6. Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma
6.1. Turunan Fungsi Eksponensial dengan Basis $e$
Contoh: Jika $f(x) = 2e^x$, maka $f'(x) = 2e^x$
Fungsi $e^x$ adalah fungsi istimewa karena turunannya sama dengan fungsi itu sendiri.
6.2. Turunan Fungsi Eksponensial dengan Basis a
Contoh: Jika $f(x) = 2^x$, maka $f'(x) = 2^x \ln 2$
6.3. Turunan Fungsi Logaritma Natural
Contoh: Jika $f(x) = 3\ln x$, maka $f'(x) = \frac{3}{x}$
6.4. Turunan Fungsi Logaritma dengan Basis a
Contoh: Jika $f(x) = \log_{10} x$, maka $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$
7. Aturan Rantai (Chain Rule)
Aturan rantai digunakan untuk mencari turunan dari fungsi komposisi. Jika $f(x) = g(h(x))$, maka turunan $f$ di $x$ adalah:
Dengan kata lain, jika $y = f(u)$ dan $u = g(x)$, maka:
Catatan: Aturan rantai sangat berguna untuk mencari turunan dari fungsi yang kompleks.
7.1. Contoh Aplikasi Aturan Rantai
Contoh 1: Tentukan turunan dari $f(x) = \sin(x^2)$.
Penyelesaian:
Misalkan $u = x^2$, maka $f(x) = \sin u$.
$\frac{df}{du} = \cos u$ dan $\frac{du}{dx} = 2x$
Menggunakan aturan rantai: $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$
Contoh 2: Tentukan turunan dari $f(x) = e^{3x+1}$.
Penyelesaian:
Misalkan $u = 3x+1$, maka $f(x) = e^u$.
$\frac{df}{du} = e^u$ dan $\frac{du}{dx} = 3$
Menggunakan aturan rantai: $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+1}$
Contoh 3: Tentukan turunan dari $f(x) = \ln(2x^2 + 3)$.
Penyelesaian:
Misalkan $u = 2x^2 + 3$, maka $f(x) = \ln u$.
$\frac{df}{du} = \frac{1}{u}$ dan $\frac{du}{dx} = 4x$
Menggunakan aturan rantai: $f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 4x = \frac{4x}{2x^2 + 3}$
8. Contoh Soal dan Pembahasan Lanjutan
Soal 1
Soal: Tentukan turunan dari $f(x) = \sin(2x) \cdot \cos(3x)$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan perkalian:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] \cdot \cos(3x) + \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\cos(3x)]$
$\frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 2\cos(2x)$ (aturan rantai)
$\frac{d}{dx}[\cos(3x)] = -3\sin(3x)$ (aturan rantai)
$f'(x) = 2\cos(2x) \cdot \cos(3x) + \sin(2x) \cdot (-3\sin(3x))$
$f'(x) = 2\cos(2x)\cos(3x) – 3\sin(2x)\sin(3x)$
Soal 2
Soal: Tentukan turunan dari $g(x) = \frac{\sin x}{x}$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan pembagian:
$g'(x) = \frac{\frac{d}{dx}[\sin x] \cdot x – \sin x \cdot \frac{d}{dx}[x]}{x^2}$
$g'(x) = \frac{\cos x \cdot x – \sin x \cdot 1}{x^2}$
$g'(x) = \frac{x\cos x – \sin x}{x^2}$
Soal 3
Soal: Tentukan turunan dari $h(x) = \sqrt{1 + \sin x}$.
Pembahasan:
Kita dapat menulis $h(x) = (1 + \sin x)^{1/2}$.
Menggunakan aturan rantai:
$h'(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}[1 + \sin x]$
$h'(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x)^{-1/2} \cdot \cos x$
$h'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$
Soal 4
Soal: Tentukan turunan dari $k(x) = e^{\sin x}$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan rantai:
$k'(x) = e^{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}[\sin x]$
$k'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$
Soal 5
Soal: Tentukan turunan dari $m(x) = \ln(\tan x)$.
Pembahasan:
Menggunakan aturan rantai:
$m'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{d}{dx}[\tan x]$
$m'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$
$m'(x) = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$
Ingat bahwa $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ dan $\sec^2 x / \tan x = \sec x \cdot \csc x$
Jadi, $m'(x) = \frac{1}{\sin x \cos x}$
9. Latihan Soal
Berikut beberapa soal untuk latihan:
- Tentukan turunan dari $f(x) = x^3 \sin x$.
- Tentukan turunan dari $g(x) = e^{x^2} \cdot \ln x$.
- Tentukan turunan dari $h(x) = \cos^2 x$.
- Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x \ln x$ di titik $(e, e)$.
- Tentukan turunan dari $k(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.
Cobalah kerjakan soal-soal di atas, kemudian periksa hasilnya dengan jawaban berikut ini:
- $f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$
- $g'(x) = 2x \cdot e^{x^2} \cdot \ln x + e^{x^2} \cdot \frac{1}{x}$
- $h'(x) = -2\cos x \sin x = -\sin(2x)$
- Persamaan garis singgung: $y – e = 2(x – e)$ atau $y = 2x – e$
- $k'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{\left(e^x + e^{-x}\right)^2}$
10. Aplikasi Turunan dalam Mencari Nilai Maksimum dan Minimum
Salah satu aplikasi penting dari turunan adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Ini sangat berguna dalam berbagai bidang, seperti ekonomi (memaksimalkan keuntungan), teknik (meminimalkan biaya), dan fisika (menghitung titik tertinggi atau terendah dari lintasan).
10.1. Konsep Titik Stasioner
Definisi: Titik stasioner suatu fungsi $f(x)$ adalah titik di mana turunan fungsi tersebut bernilai 0 atau tidak terdefinisi.
Jika $f'(x_0) = 0$, maka $x_0$ disebut sebagai titik stasioner fungsi $f(x)$.
Titik stasioner dapat merupakan:
- Titik maksimum lokal
- Titik minimum lokal
- Titik belok
10.2. Tes Turunan Pertama
Misalkan $x = c$ adalah titik stasioner fungsi $f(x)$ ($f'(c) = 0$):
- Jika $f'(x) > 0$ untuk $x < c$ dan $f'(x) < 0$ untuk $x > c$, maka $f(c)$ adalah nilai maksimum lokal.
- Jika $f'(x) < 0$ untuk $x < c$ dan $f'(x) > 0$ untuk $x > c$, maka $f(c)$ adalah nilai minimum lokal.
- Jika $f'(x)$ tidak berubah tanda pada interval sekitar $c$, maka $f(c)$ bukan nilai maksimum atau minimum lokal.
10.3. Tes Turunan Kedua
Misalkan $x = c$ adalah titik stasioner fungsi $f(x)$ ($f'(c) = 0$):
- Jika $f”(c) < 0$, maka $f(c)$ adalah nilai maksimum lokal.
- Jika $f”(c) > 0$, maka $f(c)$ adalah nilai minimum lokal.
- Jika $f”(c) = 0$, maka tes turunan kedua tidak memberikan kesimpulan (perlu digunakan tes lain).
Contoh 1: Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 7$ pada interval $[-2, 4]$.
Penyelesaian:
Langkah 1: Tentukan turunan pertama fungsi $f(x)$.
$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)$
Langkah 2: Tentukan titik-titik stasioner (di mana $f'(x) = 0$).
$f'(x) = 0$ saat $x = 3$ atau $x = -1$
Langkah 3: Periksa nilai fungsi pada titik-titik stasioner dan titik-titik ujung interval.
$f(-2) = (-2)^3 – 3(-2)^2 – 9(-2) + 7 = -8 – 12 + 18 + 7 = 5$
$f(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 9(-1) + 7 = -1 – 3 + 9 + 7 = 12$
$f(3) = (3)^3 – 3(3)^2 – 9(3) + 7 = 27 – 27 – 27 + 7 = -20$
$f(4) = (4)^3 – 3(4)^2 – 9(4) + 7 = 64 – 48 – 36 + 7 = -13$
Langkah 4: Bandingkan nilai-nilai tersebut.
Nilai minimum: $f(3) = -20$
Nilai maksimum: $f(-1) = 12$
11. Aplikasi Turunan dalam Mempelajari Bentuk Kurva
11.1. Kecekungan dan Titik Belok
Definisi:
- Fungsi $f(x)$ dikatakan cekung ke atas pada interval $I$ jika $f”(x) > 0$ untuk setiap $x$ dalam $I$.
- Fungsi $f(x)$ dikatakan cekung ke bawah pada interval $I$ jika $f”(x) < 0$ untuk setiap $x$ dalam $I$.
- Titik belok adalah titik di mana kecekungan kurva berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya.
Contoh 2: Tentukan interval kecekungan dan titik belok dari fungsi $f(x) = x^3 – 3x + 2$.
Penyelesaian:
Langkah 1: Tentukan turunan kedua dari fungsi $f(x)$.
$f'(x) = 3x^2 – 3$
$f”(x) = 6x$
Langkah 2: Tentukan di mana $f”(x) = 0$ atau tidak terdefinisi.
$f”(x) = 0$ saat $x = 0$
Langkah 3: Tentukan tanda dari $f”(x)$ pada interval-interval yang terbentuk.
Untuk $x < 0$: $f”(x) < 0$ (cekung ke bawah)
Untuk $x > 0$: $f”(x) > 0$ (cekung ke atas)
Langkah 4: Tentukan titik belok.
Pada $x = 0$, kecekungan berubah. Nilai fungsi pada titik ini adalah $f(0) = 2$.
Jadi, titik belok fungsi tersebut adalah $(0, 2)$.
12. Aplikasi Turunan dalam Fisika: Kecepatan dan Percepatan
Turunan memiliki interpretasi fisik yang penting dalam studi gerak:
Jika $s(t)$ adalah fungsi posisi suatu benda pada waktu $t$, maka:
- Kecepatan pada waktu $t$ adalah $v(t) = s'(t)$
- Percepatan pada waktu $t$ adalah $a(t) = v'(t) = s”(t)$
Aplikasi: Jika sebuah benda bergerak dengan fungsi posisi $s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1$, di mana $s$ dalam meter dan $t$ dalam detik, tentukan:
a) Kecepatan benda pada $t = 2$ detik
b) Kapan benda berhenti (kecepatan = 0)
c) Percepatan benda pada $t = 3$ detik
Penyelesaian:
a) Kecepatan benda:
$v(t) = s'(t) = 3t^2 – 12t + 9$
Kecepatan pada $t = 2$ detik:
$v(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 9 = 12 – 24 + 9 = -3$ m/detik
Nilai negatif menunjukkan bahwa benda bergerak ke arah negatif.
b) Benda berhenti ketika $v(t) = 0$:
$3t^2 – 12t + 9 = 0$
$3(t^2 – 4t + 3) = 0$
$3(t – 3)(t – 1) = 0$
$t = 3$ atau $t = 1$
Jadi, benda berhenti pada $t = 1$ detik dan $t = 3$ detik.
c) Percepatan benda:
$a(t) = v'(t) = 6t – 12$
Percepatan pada $t = 3$ detik:
$a(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6$ m/detik²
13. Aplikasi Turunan dalam Masalah Optimasi
Turunan sering digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dalam kehidupan sehari-hari, seperti memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, atau mencari dimensi optimal dari suatu benda.
Contoh 3: Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari selembar karton persegi dengan ukuran 24 cm × 24 cm dengan memotong persegi-persegi kecil di setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya. Tentukan ukuran persegi yang dipotong agar volume kotak maksimum.
Penyelesaian:
Langkah 1: Definisikan variabel.
Misalkan $x$ adalah panjang sisi persegi yang dipotong dari setiap pojok (dalam cm).
Langkah 2: Tentukan fungsi yang akan dimaksimalkan.
Panjang kotak = lebar kotak = 24 – 2x
Tinggi kotak = x
Volume kotak $V(x) = (24 – 2x)^2 \cdot x = (24-2x)^2 x$
Langkah 3: Cari turunan fungsi volume dan tentukan titik stasioner.
$V'(x) = (24-2x)^2 \cdot 1 + x \cdot 2(24-2x)(-2)$
$V'(x) = (24-2x)^2 – 4x(24-2x)$
$V'(x) = (24-2x)(24-2x – 4x)$
$V'(x) = (24-2x)(24-6x)$
Titik stasioner terjadi saat $V'(x) = 0$:
$(24-2x)(24-6x) = 0$
$24-2x = 0$ atau $24-6x = 0$
$x = 12$ atau $x = 4$
Karena $x = 12$ akan membuat panjang dan lebar kotak menjadi 0, maka nilai yang valid hanya $x = 4$.
Langkah 4: Verifikasi bahwa ini adalah maksimum.
Kita bisa menggunakan tes turunan kedua atau memeriksa nilai $V(x)$ di sekitar $x = 4$.
Dengan $x = 4$, dimensi kotak adalah:
Panjang = lebar = 24 – 2(4) = 16 cm
Tinggi = 4 cm
Volume = 16 × 16 × 4 = 1024 cm³
Jadi, untuk memperoleh volume maksimum, persegi dengan panjang sisi 4 cm harus dipotong dari setiap pojok karton.
14. Soal-soal Penerapan Turunan
Soal 1
Soal: Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya total $C(x) = 0,1x^2 + 15x + 2000$ rupiah. Jika harga jual per unit adalah 55 rupiah, berapa banyak unit yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?
Pembahasan:
Keuntungan (P) = Pendapatan total – Biaya total
Pendapatan total = Harga jual per unit × Jumlah unit = 55x
Biaya total = C(x) = 0,1x² + 15x + 2000
Keuntungan P(x) = 55x – (0,1x² + 15x + 2000) = 55x – 0,1x² – 15x – 2000 = -0,1x² + 40x – 2000
Untuk mencari keuntungan maksimum, kita cari x di mana P'(x) = 0:
P'(x) = -0,2x + 40 = 0
-0,2x = -40
x = 200
Karena P”(x) = -0,2 < 0, maka x = 200 memberikan keuntungan maksimum.
Jadi, perusahaan harus memproduksi 200 unit per hari untuk memperoleh keuntungan maksimum.
Soal 2
Soal: Dari semua persegi panjang dengan keliling 100 cm, tentukan panjang dan lebar yang menghasilkan luas maksimum.
Pembahasan:
Misalkan panjang = x dan lebar = y.
Keliling = 2x + 2y = 100
y = (100 – 2x)/2 = 50 – x
Luas A = x × y = x(50 – x) = 50x – x²
Untuk mencari luas maksimum, kita cari x di mana A'(x) = 0:
A'(x) = 50 – 2x = 0
2x = 50
x = 25
Karena A”(x) = -2 < 0, maka x = 25 memberikan luas maksimum.
Dengan x = 25, kita mendapatkan y = 50 – 25 = 25.
Jadi, persegi panjang (dalam hal ini persegi) dengan panjang 25 cm dan lebar 25 cm akan memiliki luas maksimum yaitu 625 cm².
Soal 3
Soal: Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 40 m/detik. Tinggi bola setelah t detik diberikan oleh fungsi h(t) = 40t – 5t². Tentukan:
a) Kapan bola mencapai ketinggian maksimum
b) Berapa ketinggian maksimum yang dicapai bola
c) Kapan bola kembali ke permukaan tanah
Pembahasan:
a) Kecepatan bola pada waktu t adalah:
v(t) = h'(t) = 40 – 10t
Bola mencapai ketinggian maksimum ketika kecepatannya 0:
40 – 10t = 0
t = 4 detik
b) Ketinggian maksimum:
h(4) = 40(4) – 5(4)² = 160 – 80 = 80 meter
c) Bola kembali ke permukaan tanah ketika h(t) = 0:
40t – 5t² = 0
5t(8 – t) = 0
t = 0 atau t = 8
Karena t = 0 adalah waktu awal, maka bola kembali ke tanah pada t = 8 detik.
