Kumpulan Soal dan Pembahasan Trigonometri

Berikut ini adalah kumpulan soal dan pembahasan lengkap terkait materi trigonometri SMA. Pahami dan pelajari agar pemahamanmu meningkat.

1. Soal Trigonometri Tingkat Dasar

Soal 1

Jika sin θ = 3/5 dan θ berada di kuadran I, tentukan nilai cos θ dan tan θ.

Pembahasan:
Diketahui sin θ = 3/5 dengan θ di kuadran I.
Menggunakan identitas Pythagoras sin²θ + cos²θ = 1:

• cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (3/5)² = 1 – 9/25 = 16/25
• cos θ = 4/5 (positif karena θ di kuadran I)
• tan θ = sin θ / cos θ = (3/5) / (4/5) = 3/4

Soal 2

Tentukan nilai dari sin 45° + cos 60°.

Pembahasan:

• sin 45° = 1/√2 = √2/2
• cos 60° = 1/2
• sin 45° + cos 60° = √2/2 + 1/2 = (√2 + 1)/2 ≈ 1,207

Soal 3

Jika tan α = 3/4 dan α berada di kuadran I, hitunglah sin α dan cos α.

Pembahasan:
Diketahui tan α = 3/4, maka y/x = 3/4, artinya y = 3 dan x = 4 (dalam rasio).

• Menggunakan Pythagoras: r² = x² + y² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, maka r = 5
• sin α = y/r = 3/5
• cos α = x/r = 4/5

2. Soal Trigonometri Tingkat Menengah

Soal 4

Buktikan identitas: sin²θ – sin²(90° – θ) = sin²θ – cos²θ = -cos 2θ.

Pembahasan:

• sin²θ – sin²(90° – θ) = sin²θ – cos²θ
• Menggunakan identitas sin²θ = (1 – cos 2θ)/2 dan cos²θ = (1 + cos 2θ)/2:
• sin²θ – cos²θ = (1 – cos 2θ)/2 – (1 + cos 2θ)/2 = -cos 2θ

Soal 5

Hitunglah nilai dari sin 75° menggunakan rumus jumlah/selisih sudut.

Pembahasan:

• sin 75° = sin(45° + 30°)
• sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
• = (√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2)
• = (√6 + √2)/4

Soal 6

Sebuah tangga dengan panjang 5 meter disandarkan pada dinding vertikal. Jika tangga membentuk sudut 37° dengan lantai horizontal, berapakah jarak kaki tangga dari dinding?

Pembahasan:

• Jarak kaki tangga dari dinding = 5 × cos 37°
• cos 37° ≈ 0,799
• Jarak = 5 × 0,799 = 3,995 meter ≈ 4 meter

3. Soal Trigonometri Tingkat Lanjut

Soal 7

Jika sin α + sin β = a dan cos α + cos β = b, buktikan bahwa sin(α + β) = (ab – 2sin α sin β)/√(a² + b² – 4sin α sin β).

Pembahasan:
Kita gunakan identitas:

• (sin α + sin β)² + (cos α + cos β)² = 2 + 2cos(α – β)
• a² + b² = 2 + 2cos(α – β)
• cos(α – β) = (a² + b² – 2)/2

Kita juga tahu bahwa:

• sin α sin β = (cos(α – β) – cos(α + β))/2
• cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Substitusi dan sederhanakan:

• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
• Dengan manipulasi aljabar, didapatkan sin(α + β) = (ab – 2sin α sin β)/√(a² + b² – 4sin α sin β)

Soal 8

Sebuah kapal berlayar dari titik A dengan arah N30°E sejauh 8 km ke titik B, kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah S60°E sejauh 6 km ke titik C. Berapakah jarak dan arah (dalam derajat dari utara searah jarum jam) dari titik A ke titik C?

Pembahasan:
Gunakan sistem koordinat dengan utara sebagai sumbu y positif dan timur sebagai sumbu x positif:

• Pergerakan A ke B:
  • x₁ = 8 × sin 30° = 8 × 0,5 = 4 km (ke timur)
  • y₁ = 8 × cos 30° = 8 × 0,866 = 6,928 km (ke utara)
• Pergerakan B ke C:
  • x₂ = 6 × sin(180° – 60°) = 6 × sin 120° = 6 × 0,866 = 5,196 km (ke timur)
  • y₂ = 6 × cos(180° – 60°) = 6 × cos 120° = 6 × (-0,5) = -3 km (ke selatan)

Total perpindahan:

• x = x₁ + x₂ = 4 + 5,196 = 9,196 km (ke timur)
• y = y₁ + y₂ = 6,928 + (-3) = 3,928 km (ke utara)

Jarak AC = √(x² + y²) = √(9,196² + 3,928²) = √(84,567 + 15,429) = √99,996 ≈ 10 km

Arah (dari utara searah jarum jam):

• θ = tan⁻¹(x/y) = tan⁻¹(9,196/3,928) ≈ tan⁻¹(2,34) ≈ 66,87°

Soal 9

Buktikan identitas: tan θ + cot θ = 2 csc 2θ.

Pembahasan:

• tan θ + cot θ = sin θ/cos θ + cos θ/sin θ = (sin²θ + cos²θ)/(sin θ cos θ)
• = 1/(sin θ cos θ) = 2/(2 sin θ cos θ) = 2/sin 2θ = 2 csc 2θ

Soal 10

Jika sin θ + cos θ = 1, tentukan nilai dari sin θ cos θ.

Pembahasan:
Kuadratkan kedua ruas:

• (sin θ + cos θ)² = 1²
• sin²θ + 2sin θ cos θ + cos²θ = 1
• 1 + 2sin θ cos θ = 1 (karena sin²θ + cos²θ = 1)
• 2sin θ cos θ = 0
• sin θ cos θ = 0

Ini berarti sin θ = 0 atau cos θ = 0.
Jika sin θ = 0, maka cos θ = 1, dan 0 + 1 = 1 ✓
Jika cos θ = 0, maka sin θ = 1, dan 1 + 0 = 1 ✓
Jadi, sin θ cos θ = 0

4. Soal Aplikasi Trigonometri

Soal 11

Seseorang berdiri 50 meter dari kaki sebuah menara. Sudut elevasi ke puncak menara adalah 32°. Berapakah tinggi menara tersebut?

Pembahasan:

• Tinggi menara = jarak horizontal × tan (sudut elevasi)
• = 50 × tan 32°
• = 50 × 0,625
• = 31,25 meter

Soal 12

Sebuah roda Ferris memiliki diameter 40 meter dan berputar dengan kecepatan 2 rpm (rotasi per menit). Jika penumpang mulai dari posisi terendah (di dasar), tentukan ketinggian penumpang dari tanah setelah 15 detik.

Pembahasan:

• Kecepatan sudut = 2 rpm = 2 × 360°/60 detik = 12°/detik
• Setelah 15 detik, sudut yang ditempuh = 15 × 12° = 180°
• Posisi awal di dasar, berarti ketinggian awal = 0 meter
• Setelah berputar 180°, penumpang berada di posisi tertinggi
• Ketinggian = 40 meter (diameter roda)

Soal 13

Dua menara berdiri tegak dengan jarak 80 meter. Pengamat berdiri di antara kedua menara. Sudut elevasi ke puncak menara pertama adalah 60° dan ke puncak menara kedua adalah 45°. Tentukan tinggi kedua menara dan posisi pengamat.

Pembahasan:
Misalkan jarak pengamat ke menara pertama = x, maka jarak ke menara kedua = 80 – x.

• Tinggi menara pertama = x tan 60° = x × √3
• Tinggi menara kedua = (80 – x) tan 45° = (80 – x) × 1 = 80 – x

Kedua menara memiliki tinggi yang sama jika pengamat berdiri di titik dengan perbandingan jarak yang tepat:

• x × √3 = 80 – x
• x × √3 + x = 80
• x(√3 + 1) = 80
• x = 80/(√3 + 1) ≈ 33,2 meter

Jadi, jarak pengamat dari menara pertama ≈ 33,2 meter, dari menara kedua ≈ 46,8 meter, dan tinggi kedua menara ≈ 33,2 × √3 ≈ 57,5 meter.

Soal 14

Sebuah kabel penahan tiang listrik dipasang dengan membentuk sudut 38° terhadap tanah. Jika kabel tersebut memiliki panjang 12 meter, berapakah jarak antara ujung kabel yang menyentuh tanah dengan tiang listrik, dan berapakah tinggi tiang yang didukung oleh kabel tersebut?

Pembahasan:

• Jarak horizontal = 12 × cos 38° = 12 × 0,788 = 9,456 meter
• Tinggi yang didukung = 12 × sin 38° = 12 × 0,616 = 7,392 meter

Soal 15

Seseorang berdiri di tepi pantai dan melihat puncak gunung dengan sudut elevasi 25°. Setelah berjalan 500 meter menuju gunung, sudut elevasi berubah menjadi 32°. Berapakah tinggi gunung tersebut?

Pembahasan:
Misalkan jarak awal dari kaki gunung = x, dan tinggi gunung = h

• tan 25° = h/x
• tan 32° = h/(x – 500)

Dari persamaan pertama: h = x tan 25°
Substitusi ke persamaan kedua:

• x tan 25° = (x – 500) tan 32°
• x tan 25° = x tan 32° – 500 tan 32°
• x tan 25° – x tan 32° = -500 tan 32°
• x(tan 25° – tan 32°) = -500 tan 32°
• x = -500 tan 32° / (tan 25° – tan 32°) = 500 tan 32° / (tan 32° – tan 25°)
• x = 500 × 0,625 / (0,625 – 0,466) = 312,5 / 0,159 ≈ 1965,4 meter

Tinggi gunung = x tan 25° = 1965,4 × 0,466 ≈ 915,9 meter

---

© PintarMTK.com – Download sebagai referensi belajar